Самое трудное уравнение в мире

7 математических загадок тысячелетия. Просто о сложном

Только для мыслящих людей!

"Я знаю только то, что ничего не знаю, но другие не знают и этого"
(Сократ, древнегреческий философ)

НИКОМУ не дано владеть вселенским разумом и знать ВСЁ. Тем не менее, у большинства ученых, да и тех, кто просто любит размышлять и исследовать, всегда есть стремление узнать больше, разгадать загадки. Но остались ли еще неразгаданные темы у человечества? Ведь, кажется, все уже ясно и нужно только применять полученные веками знания?

НЕ стоит отчаиваться! Еще остались нерешенные проблемы из области математики, логики, которые в 2000 году эксперты Математического института Клэя в Кембридже (Массачусетс, США) объединили в список, так называемые, 7 загадок тысячелетия (Millennium Prize Problems). Эти проблемы волнуют ученых всей планеты. С тех пор и по сей день любой человек может заявить, что нашел решение одной из задач, доказать гипотезу и получить от бостонского миллиардера Лэндона Клэя (в честь которого и назван институт) премию. Он уже выделил на эти цели 7 миллионов долларов. К слову сказать, на сегодняшний день одна из проблем уже решена.

Итак, вы готовы узнать о математических загадках?

Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 году)

Область: гидроаэродинамика

Уравнения о турбулентных, воздушных потоках, а также течении жидкостей известны как уравнения Навье - Стокса. Если, к примеру, плыть по озеру на чем-либо, то неизбежно вокруг возникнут волны. Это касается и воздушного пространства: при полете на самолете в воздухе также будут образовываться турбулентные потоки.
Данные уравнения как раз производят описание процессов движения вязкой жидкости и являются стержневой задачей всей гидродинамики. Для некоторых частных случаев уже найдены решения, в которых части уравнений отбрасываются, как не влияющие на конечный результат, но в общем виде решения этих уравнений не найдены.
Необходимо найти решение уравнениям и выявить гладкие функции.

Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)

Область: теория чисел

Известно, что распределение простых чисел (Которые делятся только на себя и на единицу: 2,3,5,7,11…) среди всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности.
Над этой проблемой задумался немецкий математик Риман, который сделал свое предположение, теоретически касающееся свойств имеющейся последовательности простых чисел. Уже давно известны так называемые парные простые числа - простые числа-близнецы, разность между которыми равна 2, например 11 и 13, 29 и 31, 59 и 61. Иногда они образуют целые скопления, например, 101, 103, 107, 109 и 113.
Если такие скопления будут найдены и выведен определенный алгоритм, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.

Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году. Решена в 2002 году.)

Область: топология или геометрия многомерных пространств

Суть проблемы заключается в топологии и состоит в том, что если натягивать резиновую ленту, к примеру, на яблоко (сферу), то будет теоретически возможным сжать ее до точки, медленно перемещая без отрыва от поверхности ленту. Однако если эту же ленту натянуть вокруг бублика (тора), то сжать ленту без разрыва ленты или разлома самого бублика не представляется возможным. Т.е. вся поверхность сферы односвязна, в то время как тора – нет. Задача состояла в том, чтобы доказать, что односвязной является только сфера.

Представитель ленинградской геометрической школы Григорий Яковлевич Перельман является лауреатом премии тысячелетия математического института Клэя (2010 г.) за решение проблемы Пуанкаре. От знаменитой Фильдсовской премии он отказался.

Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)

Область: алгебраическая геометрия

В реальности существуют множество как простых, так и куда более сложных геометрических объектов. Чем сложнее объект, тем труднее его изучать. Сейчас учеными придуман и вовсю применяется подход, основанный на использовании частей одного целого ("кирпичики") для изучения этого объекта, как пример - конструктор. Зная свойства «кирпичиков», становится возможным подступиться и к свойствам самого объекта. Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков», так и объектов.
Это очень серьезная проблема алгебраической геометрии: найти точные пути и методы анализа сложных объектов с помощью простых "кирпичиков".

Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 году)

Область: геометрия и квантовая физика

Физики Янг и Миллс описывают мир элементарных частиц. Они, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения в области квантовой физики. Тем самым был найден путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий.
На уровне микрочастиц возникает «неприятный» эффект: если на частицу действуют несколько полей сразу, их совокупный эффект уже нельзя разложить на действие каждого из них поодиночке. Это происходит по причине того, что в этой теории друг к другу притягиваются не только частицы материи, но и сами силовые линии поля.
Хотя и уравнения Янга - Миллса приняты всеми физиками мира, экспериментально теория, касающаяся предсказывания массы элементарных частиц, не доказана.

Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)

Область: алгебра и теория чисел

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений. В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.
Задача в том, что нужно описать ВСЕ решения в целых числах x, y, z алгебраических уравнений, то есть уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами.

Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)

Область: математическая логика и кибернетика

Ее еще называют "Равенство классов P и NP", и она является одной из наиболее важных задач теории алгоритмов, логики и информатики.
Может ли процесс проверки правильности решения какой-либо задачи длиться дольше, чем время, затраченное на само решение этой задачи (независимо от алгоритма проверки)?
На решение одной и той же задачи, порой, нужно разное количество времени, если изменить условия и алгоритмы. К примеру: в большой компании вы ищете знакомого. Если вы знаете, что он сидит в углу или за столиком - то вам понадобится доли секунд, чтобы его увидеть. Но если вы не будете знать точно, где находится объект, то затратите больше времени на его поиски, обходя всех гостей.
Основным вопросом является: все или не все задачи, которые можно легко и быстро проверить, можно также легко и быстро решить?

Математика, как может показаться многим, не так далека от реальности. Она является тем механизмом, с помощью которого можно описать наш мир и многие явления. Математика всюду. И прав был В.О. Ключевский, который изрек: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».

И в заключение….

Одну из самых популярных теорем математики - Великую (Последнюю) теорему Ферма: аn + bn = cn - не могли доказать 358 лет! И только в 1994 году британец Эндрю Уайлз смог дать ей решение.

Так что, дерзайте, великие умы!

15 самых сложных вопросов по SAT математике

Хотите проверить себя, отвечая на самые сложные вопросы по математике SAT? Хотите знать, что делает эти вопросы такими сложными и как их лучше всего решать? Если вы готовы по-настоящему погрузиться в математический раздел SAT и нацелиться на этот высший балл, то это руководство для вас.

10 самых важных уравнений в истории

Уравнения - важный инструмент для описания того, сколько вещей в естественном мире функционируют и взаимодействуют. Но одни уравнения оказали более сильное влияние, чем другие.

Здесь мы представляем 10 таких уравнений, а также помогаем ответить на некоторые общие вопросы об уравнениях в сети.

СВЯЗАННЫЕ: 15 НАИБОЛЕЕ ВАЖНЫХ АЛГОРИТМОВ, ПОМОГЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИКИ, ВЫЧИСЛЕНИЙ И ФИЗИКИ

Какое уравнение является самым длинным в мире?

По данным Sciencealert, самое длинное математическое уравнение содержит около 200 терабайт текста.Эта задача, получившая название булевой проблемы троек Пифагора, была впервые предложена калифорнийским математиком Рональдом Грэхемом еще в 1980-х годах.

Почему уравнения важны?

Уравнения используются каждый день для многих, многих вещей. Они помогают вам искать в Интернете, заставлять ваш компьютер функционировать и удерживать самолеты в воздухе, и это лишь некоторые из них.

Что такое уравнение теории хаоса?

«Теория хаоса - это раздел математики, изучающий поведение динамических систем, которые очень чувствительны к начальным условиям.Теория хаоса - это междисциплинарная теория, утверждающая, что в пределах очевидной случайности хаотических сложных систем существуют лежащие в основе закономерности, постоянные петли обратной связи, повторение, самоподобие, фракталы и самоорганизация ». - Википедия.

Уравнение выглядит следующим образом : -

Изменено на основе news.bitofnews.com

Эта теория эффективно помогает нам иметь дело со сложными системами, поведение которых очень чувствительно к незначительным изменениям условий, так что небольшие изменения могут вызвать непредвиденные последствия.

Теория хаоса - наука сюрпризов, и не всегда приятных сюрпризов.

10 уравнений, изменивших мир

Вот десять самых важных уравнений, которые изменили мир. Этот список далеко не исчерпывающий и в нем нет определенного порядка.

1. Теорема Пифагора

Источник: Maxpixel

Являясь основным продуктом школьных уроков математики, это уравнение фактически изменило мир.Это позволило нам составить более точные карты и помочь найти кратчайшее расстояние между объектами; среди других вещей.

Он также широко используется в архитектуре, деревообработке и многих других областях.

2. Исчисление. это изучение обобщений арифметических операций."- Википедия.

Он был разработан независимо великим Исааком Ньютоном и сэром Готфридом Лейбницем. После его изобретения он объединил алгебру и геометрию в качестве одного из столпов математики.

3. Логарифмы

Логарифмы - это еще один тип уравнений, которые изменили мир. Они помогали нам делать утомительные вычисления до того, как появились калькуляторы.

Логарифм - это величина, представляющая степень, до которой должно быть возведено фиксированное число (основание), чтобы получить заданное число.Использование таблиц логарифма позволило исключить многие утомительные шаги в вычислениях в таких областях, как геодезия, навигация и инженерия.

4. Относительность

Источник: Peat Bakke / Flickr

Знаменитые уравнения Эйнштейна по теории относительности не только ответили на многие ранее нерешенные вопросы, но и помогли изменить наш взгляд на время, пространство и гравитацию.

Он используется для объяснения всего, от черных дыр до Большого взрыва и ядерной энергетики, а также GPS на наших телефонах.

5. Нормальное распределение

Сегодня мы все знакомы с графиками колоколообразной кривой. Они помогают описать распределение данных в заданном наборе.

Его можно использовать для чего угодно, от IQ в популяции до результатов экзамена в группе студентов. В рамках нормального распределения большинство точек данных попадают где-то посередине, а меньшее количество индивидов - в каждую крайность.

6. Уравнение Шредингера

Источник: YassineMrabet / Wikimedia Commons

Уравнение Шредингера необходимо для современных компьютерных микросхем и лазеров.Это также помогает держать кошек в состоянии анабиоза между жизнью и смертью.

А если серьезно, это уравнение навсегда изменило область квантовой физики. Это линейное дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает волновую функцию квантово-механической системы. Его открытие стало важной вехой в развитии квантовой механики.

7. Закон всемирного тяготения Ньютона

«Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что каждая частица притягивает каждую другую частицу во Вселенной с силой, которая прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрат расстояния между их центрами.»- Википедия.

Закон всемирного тяготения Ньютона - одно из самых фундаментальных уравнений в физике.

8. Волновое уравнение

« Волновое уравнение описывает поведение волн - вибрирующая струна гитары, рябь в пруду за камнем. брошен или свет выходит из лампы накаливания. Волновое уравнение было ранним дифференциальным уравнением, и методы, разработанные для его решения, открыли дверь для понимания и других дифференциальных уравнений », - businessinsider.com.

Он эффективно образует важный компонент электромагнетизма, оптики, гидродинамики и теплопередачи.

9. Второй закон термодинамики

«Это означает, что в замкнутой системе энтропия (S) всегда устойчива или возрастает. Термодинамическая энтропия, грубо говоря, является мерой того, насколько неупорядочена система Система, которая начинается в упорядоченном, неравномерном состоянии - скажем, в горячей области рядом с холодной - всегда будет иметь тенденцию к выравниванию, при этом тепло течет из горячей области в холодную до тех пор, пока не будет равномерно распределено."- businessinsider.com.

Это помогает нам, среди прочего, понять направление теплопередачи. Эта теория может быть выражена в терминах изменения энтропии системы (dS). В этом уравнении рассчитывается dS путем измерения количества тепла, поступившего в замкнутую систему (δQ), деленного на общую температуру (T) в точке, где произошла теплопередача.

10. Преобразование Фурье

Это уравнение в основном имеет вид сердце современной обработки сигналов.Это также важно для анализа сигналов и сжатия данных.

«Преобразование Фурье необходимо для понимания более сложных волновых структур, таких как человеческая речь. Учитывая сложную, беспорядочную волновую функцию, такую как запись разговора человека, преобразование Фурье позволяет нам разбить беспорядочную функцию на комбинацию чисел простых волн, что значительно упрощает анализ ». - businessinsider.com.

21 сложнейший математический вопрос для ACT

Вы учились и теперь готовы к математическому разделу ACT (ууу!). Но готовы ли вы отвечать на самые сложные математические вопросы, которые предлагает ACT? Вы хотите точно знать, почему эти вопросы так сложны и как их лучше всего решать? Если вы настроены на этот высший балл (или вам просто очень любопытно посмотреть, какие будут самые сложные вопросы), то это руководство для вас.

Квадратные уравнения

Пример квадратного уравнения :

Квадратные уравнения образуют красивые кривые, такие как эта:

Имя

Название Quadratic происходит от «quad», что означает квадрат, потому что переменная возводится в квадрат (например, x ² ).

Его также называют «уравнением степени 2» (из-за «2» на x )

Стандартная форма

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит так:

a , b и c - известные значения. a не может быть 0.

« x » - это переменная или неизвестно (мы еще этого не знаем).

Вот несколько примеров:

2x ² + 5x + 3 = 0		В этом a = 2 , b = 5 и c = 3

x ² - 3x = 0		Это немного сложнее: Где а ? Ну a = 1 , так как мы обычно не пишем «1x ²» б = −3 А где c ? Well c = 0 , поэтому не показан.
5x - 3 = 0		Ой! Это , а не квадратное уравнение: оно отсутствует x ² (другими словами a = 0 , что означает, что он не может быть квадратичным)

Поиграйте с ним

Поиграйте с "Проводником квадратного уравнения", чтобы увидеть:

график, а
решений (называемых «корнями»).

Скрытые квадратные уравнения!

Как мы видели ранее, Стандартная форма квадратного уравнения - это

Но иногда квадратное уравнение так не выглядит!

Например:

Скрытый		в стандартной форме	a, b и c
x ² = 3x - 1	Переместить все термины в левую часть	x ² - 3x + 1 = 0	а = 1, b = −3, c = 1
2 (w ² - 2w) = 5	Развернуть (снять скобки), и переместите 5 влево	2 Вт ² - 4 Вт - 5 = 0	a = 2, b = −4, c = −5
z (z − 1) = 3	Разверните и переместите 3 влево	z ² - z - 3 = 0	а = 1, b = -1, с = -3

Как их решить?

В « решениях » квадратного уравнения равно нулю .

Их также называют « корней », или иногда « нулей »

Обычно существует 2 решения (как показано на этом графике).

И есть несколько разных способов найти решения:

Или мы можем использовать специальную квадратичную формулу :

Просто введите значения a, b и c и выполняйте вычисления.

Сейчас мы рассмотрим этот метод более подробно.

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Прежде всего, что это за плюс / минус, который выглядит как ±?

± означает, что есть ДВА ответа:

x = −b + √ (b ² - 4ac) 2a

x = −b - √ (b ² - 4ac) 2a

Вот пример с двумя ответами:

Но не всегда так получается!

Представьте, что кривая «просто касается» оси x.
Или представьте, что кривая настолько высока, что даже не пересекает ось x!

Вот тут-то нам и помогает «Дискриминант» ...

Дискриминант

Вы видите b ² - 4ac в приведенной выше формуле? Он называется Дискриминант , потому что он может «различать» возможные типы ответов:

когда b ² - 4ac положительный, мы получаем два Реальных решения
, когда он равен нулю, мы получаем только ОДНО реальное решение (оба ответа одинаковы)
при отрицательном значении получаем пару Комплексных решений

Комплексные решения? Давайте поговорим о них после того, как мы увидим, как использовать формулу.

Использование квадратичной формулы

Просто введите значения a, b и c в квадратную формулу и произведите вычисления.

Пример: Решить 5x ² + 6x + 1 = 0

Коэффициенты: a = 5, b = 6, c = 1

Квадратичная формула: x = −b ± √ (b ² - 4ac) 2a

Вставьте a, b и c: x = −6 ± √ (6 ² - 4 × 5 × 1) 2 × 5

Решить: x = −6 ± √ (36 ^-20) 10

х = −6 ± √ (16) 10

х = −6 ± 4 10

х = -0.2 или −1

Ответ: x = −0,2 или x = −1

И мы их видим на этом графике.

Чек -0,2 :		5 × ( −0,2 ) ² + 6 × ( −0,2 ) + 1 = 5 × (0,04) + 6 × (-0,2) + 1 = 0,2 - 1,2 + 1 = 0
Чек -1 :		5 × ( −1 ) ² + 6 × ( −1 ) + 1 = 5 × (1) + 6 × (-1) + 1 = 5–6 + 1 = 0

Вспоминая формулу

Добрый читатель предложил спеть это к "Pop Goes the Weasel":

♫	"x равно минус b	♫	"Вокруг тутового куста
♫	*плюс или минус квадратный корень*	♫	Обезьяна погналась за лаской
	*в квадрате b минус четыре a c*		Обезьяна думала, что все было весело
	*ВСЕ более двух а "*		Поп! идет ласка »

Попробуйте спеть несколько раз, и она застрянет у вас в голове!

Или вы можете вспомнить эту историю:

х = −b ± √ (b ² - 4ac) 2a

"Негативный мальчик думал, да или нет, о том, чтобы пойти на вечеринку,
на вечеринке он разговаривал с квадратным мальчиком, но не с четырьмя классными цыпочками.
Все закончилось в 2 часа ночи. "

Комплексные решения?

Когда Дискриминант (значение b ² - 4ac ) отрицательный, мы получаем пару Комплексных решений ... что это означает?

Это означает, что наш ответ будет включать мнимые числа. Вау!

Пример: Решить 5x ² + 2x + 1 = 0

Коэффициенты равны : a = 5, b = 2, c = 1

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b ² - 4ac = 2 ² - 4 × 5 × 1
= −16

Используйте квадратичную формулу : x = −2 ± √ (−16) 10

√ (-16) = 4 i
(где i - мнимое число √ − 1)

Итак: x = −2 ± 4 и 10

Ответ: x = −0.2 ± 0,4 и

График не пересекает ось абсцисс. Вот почему мы получили комплексные числа.

В некотором смысле это проще: нам не нужно больше вычислений, просто оставим -0,2 ± 0,4 i .

Пример: Решить x ² - 4x + 6,25 = 0

Коэффициенты равны : a = 1, b = −4, c = 6,25

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b ² - 4ac = (−4) ² - 4 × 1 × 6.25
= −9

Используйте квадратичную формулу : x = - (- 4) ± √ (−9) 2

√ (−9) = 3 i
(где i - мнимое число √ − 1)

Итак: x = 4 ± 3 i 2

Ответ: x = 2 ± 1,5 i

График не пересекает ось абсцисс.Вот почему мы получили комплексные числа.

НО перевернутое зеркальное отображение нашего уравнения действительно пересекает ось x в 2 ± 1,5 (примечание: отсутствует i ).

Просто интересный факт для вас!

Сводка

Квадратное уравнение в стандартной форме: ax ² + bx + c = 0
Квадратичные уравнения могут быть разложены на множители
Квадратичная формула: x = −b ± √ (b ² - 4ac) 2a
Когда дискриминант ( b ² −4ac ) равен:
- положительный, есть 2 реальных решения
- ноль, есть одно реальное решение
- негатив, есть 2 комплексных решения