Самый сложный пример в мире по математике

Каждый математический подраздел расположен в порядке возрастания сложности (где чем больше времени требуется на решение задачи и чем меньше людей ответят на нее правильно, тем сложнее). В каждом подразделе вопрос 1 будет «легким», а вопрос 15 - «сложным». Однако возрастающая сложность сбрасывается с простого на сложный на сетке.

Таким образом, вопросы с несколькими вариантами ответов расположены по возрастающей сложности (вопросы 1 и 2 будут самыми легкими, вопросы 14 и 15 будут самыми сложными), но уровень сложности сбрасывается для секции сетки (то есть вопросы 16 и 17 будут снова будьте «легкими», и вопросы 19 и 20 будут очень сложными).

Таким образом, за очень немногими исключениями, наиболее сложных математических задач SAT будут сгруппированы в конце сегментов с несколькими вариантами ответов или во второй половине вопросов сетки. Однако, помимо места в тесте, у этих вопросов есть еще несколько общих черт. Через минуту мы рассмотрим примеры вопросов и способы их решения, а затем рассмотрим

22 примера математики в повседневной жизни - StudiousGuy

По мнению некоторых, математика - это просто использование сложных формул и вычислений, которые никогда не будут применяться в реальной жизни. Но математика - это универсальный язык, который применяется практически во всех сферах жизни. Да! Вы правильно прочитали; все время соблюдаются основные математические концепции. Вы были бы удивлены, увидев, как математика возникает из неожиданных ситуаций.

Давайте продолжим, чтобы узнать о реальных ситуациях, когда применяется математика.

1. Составление текущих бюджетов

Сколько я должен потратить сегодня? Когда я смогу купить новую машину? Стоит ли экономить больше? Как я смогу оплачивать свои EMI? Такие мысли обычно приходят нам в голову. Простой ответ на такие вопросы - математика. Мы составляем бюджеты на основе простых расчетов с помощью простых математических понятий. Итак, нельзя сказать, что я никогда не буду изучать математику! Все, что нас окружает, так или иначе связано только с математикой.

Заявка:

• Основные математические операции (сложение, вычитание, умножение и деление)

• Расчет процентов

2. Конструктивное назначение

Знаете что, математика - это основа любого строительства. Многие расчеты, составление бюджетов, постановка целей, оценка стоимости и т. Д. Выполняются на основе математических расчетов. Если вы не верите, спросите любого подрядчика или строителя, и они объяснят, насколько важны математические вычисления для выполнения всех строительных работ.

Заявка:

• Оценка стоимости и прибыли

3. Физические упражнения и обучение

Мне нужно уменьшить количество жира в организме! Смогу ли я когда-нибудь обрести тело своей мечты? Как? Когда? Смогу ли я нарастить мышцы? Здесь используется простая концепция - математика. Да! основываясь на простых математических понятиях, мы можем ответить на вышеупомянутые вопросы. Мы составляем распорядок дня в соответствии с расписанием тренировок, подсчитываем количество повторений во время тренировки и т. Д., просто на основе математики.

Заявка:

• Основные математические операции (сложение, вычитание, умножение и деление)

• Логические и аналогичные рассуждения

4. Дизайн интерьера

Дизайн интерьера кажется увлекательной и интересной профессией, но знаете ли вы точную реальность? Чтобы преуспеть в этой области, необходимо следовать множеству математических концепций, расчетов, бюджетов, оценок, целей и т.д.Дизайнеры интерьера планируют интерьер на основе расчетов площади и объема, чтобы рассчитать и оценить правильную планировку любого помещения или здания. Такие концепции составляют важную часть математики.

Заявка:

5. Дизайн одежды

Так же, как и дизайн интерьера, математика также является важным понятием дизайна одежды. От измерения, оценки количества и качества одежды, выбора цветовой гаммы, оценки стоимости и прибыли до производства ткани в соответствии с потребностями и вкусами клиентов, математика используется на каждом этапе.

Заявка:

• Основные математические операции

6. Покупки в продуктовых магазинах и супермаркетах

Наиболее очевидное место, где вы могли бы увидеть применение основных математических понятий, - это ближайший продуктовый магазин и супермаркет. Такие схемы, как «Фиксированная скидка 50%», «Купи один, получи один бесплатно» и т. Д. Можно встретить в большинстве магазинов. Покупатели посещают магазины, видят такие схемы, оценивают количество, которое нужно купить, вес, цену за единицу, расчет скидок и, наконец, общую цену продукта и покупают его.Расчеты производятся на основе основных математических концепций. Таким образом, и здесь математика составляет важную часть нашей повседневной жизни.

Заявка:

7. Приготовление и выпечка

На вашей кухне также выполняется математика. Для приготовления или выпечки чего-либо выполняется ряд шагов, в которых сообщается, какое количество продукта следует использовать для приготовления, пропорции различных ингредиентов, способы приготовления, используемую посуду и многое другое.Они основаны на разных математических концепциях. Развлекайте детей на кухне, пока они что-нибудь готовят, - это увлекательный способ объяснить математику, а также основные методы приготовления пищи.

Заявка:

8. Спорт

Математика улучшает когнитивные навыки человека и навыки принятия решений. Такие навыки очень важны для спортсмена, потому что с их помощью он может принимать правильные решения для своей команды. Если у человека нет таких способностей, он не сможет дать правильных оценок.Итак, математика также является важной частью спортивной сферы.

Заявка:

• Математические операции и алгоритм

9. Управление временем

Сейчас управление временем - одна из самых сложных задач, с которой сталкивается множество людей. Человек хочет выполнить несколько заданий за ограниченное время. Не только руководство, некоторые люди даже не могут считывать время на аналоговых часах.Такие задачи можно решить только путем понимания основных понятий математики. Математика не только помогает нам понять, как управлять временем, но и ценить его.

Заявка:

• Основные математические операции

10. Вождение автомобиля

«Скорость, время и расстояние» - все эти три вещи изучаются на математических предметах, которые являются основами вождения независимо от вида транспорта. Математика помогает нам ответить на следующий вопрос;

• Какой должна быть скорость для преодоления определенного расстояния?

• Сколько времени это займет?

• Повернуть налево или направо?

• Когда увеличивать или уменьшать скорость?

Заявка:

11.Автомобильная промышленность

Различные компании-производители автомобилей производят автомобили в соответствии с требованиями клиентов. У каждой компании есть своя категория автомобилей, от микрокаров до роскошных внедорожников. В таких компаниях применяются базовые математические операции для получения информации о различных требованиях клиентов.

Заявка:

12. Компьютерные приложения

Вы когда-нибудь задумывались, как работает компьютер? Насколько легко он выполняет каждую задачу в правильной последовательности действий? Простая причина этого - математика.Области математики и информатики пересекаются как в компьютерных науках. Изучение компьютерных приложений практически невозможно без математики. Такие концепции, как вычисления, алгоритмы и многие другие, образуют основу для различных компьютерных приложений, таких как PowerPoint, Word, Excel и т. Д., Невозможно запустить без математики.

Приложения:

13. Планирование поездки

Нам всем наскучила однообразная жизнь, и мы хотим уехать в долгий отпуск.Для этого мы должны соответствующим образом все спланировать. Нам нужно подготовить бюджет поездки, количество дней, направления, отели, соответствующим образом скорректировать другие наши работы и многое другое. А вот и роль математики. Чтобы спланировать успешное путешествие, необходимо следовать основным математическим понятиям и операциям.

Заявка:

14. Больницы

Каждая больница должна составить график работы врачей, систематические методы проведения любой серьезной операции, ведение записей пациентов, записи об успешности операций, количество необходимых машин скорой помощи, обучение использованию лекарств. медсестрам, рецептам, расписанию всех задач и т. д.Все это делается на основе математических концепций.

Заявка:

15. Видеоигры

Видеоигры - одно из самых любимых развлечений во всем мире, независимо от того, ребенок вы или взрослый. Студенты обычно пропускают занятия по математике, чтобы играть в видеоигры. Но знаете ли вы, что здесь также изучают математику? Здесь они узнают о различных шагах и методах, которым необходимо следовать, чтобы выиграть любую игру.Не только во время игры, но и инженеры, которые представляют разные игры для людей, также следуют различным математическим концепциям.

Приложения:

16. Прогноз погоды

Прогноз погоды полностью основан на теории вероятностей математики. Благодаря этому мы узнаем о погодных условиях, например, будет ли сегодня солнечный день или пойдет дождь. Поэтому в следующий раз, когда вы планируете поездку, не забудьте посмотреть прогноз погоды.

Заявка:

17. База прочих субъектов

Хотя математика сама по себе является уникальным предметом. Но вы были бы удивлены, узнав, что он составляет основу для каждого предмета. Такие предметы, как физика, химия, экономика, история, бухгалтерский учет, статистика, по сути, каждый предмет основан на математике. Итак, в следующий раз, когда вы скажете: «Я никогда не буду изучать этот предмет по математике!» помните, эта тема не оставит вас никогда.

Заявка:

18. Музыка и танцы

Музыка и танцы - одно из самых распространенных детских увлечений. Здесь они также изучают математику во время пения и разучивают различные танцевальные движения. Координация в любом танце может быть достигнута с помощью простых математических шагов.

Заявка:

19. Обрабатывающая промышленность

Часть математики под названием «Операционные исследования» - важная концепция, которой придерживаются все производственные предприятия.Эта математическая концепция дает производителю простое представление о выполнении ряда задач в рамках производственной единицы, например,

• Какое количество производить?

• Какими методами нужно следовать?

• Как увеличить производство?

• Как снизить себестоимость продукции?

• Удаление ненужных задач.

• Следующие методы, такие как целевая себестоимость, калькуляция затрат ABC, бюджетирование затрат и прибыли и многие другие.

Заявка:

20. Планировка городов

Городское планирование включает в себя концепции составления бюджета, планирования, постановки целей и многое другое, что составляет часть математики. Никакая деятельность невозможна без математики.

Заявка:

21. Умение решать проблемы

Навыки решения проблем - один из самых важных навыков, которым должен обладать каждый человек, чтобы добиться успеха в жизни.Такие навыки помогают человеку принимать правильные решения в жизни, будь то профессиональные или личные. Все это делается, когда человек правильно знает основные математические концепции.

Заявка:

• Основные математические операции

22. Маркетинг

Маркетинговые агентства составляют надлежащие планы относительно того, как продвигать любой продукт или услугу. Такие задачи, как продвижение продукта в Интернете, использование платформ социальных сетей, использование различных методов прямого и косвенного маркетинга, продажа от двери до двери, отправка электронных писем, совершение звонков, предоставление ряда схем, таких как «Купи один, получи один бесплатно», «Скидка 50%», предлагая скидки в особых случаях и т. Д.все делаются на основе простых математических понятий. Таким образом, математика присутствует везде.

Заявка:

• Математические операции

Математических утверждений

Подраздел Атомные и молекулярные утверждения

Утверждение - это любое декларативное предложение, которое является истинным или ложным. Утверждение - это атомных , если оно не может быть разделено на более мелкие операторы, в противном случае оно называется молекулярным .

Пример 0.2.1.

Это операторы (фактически, атомарных операторов ):

• Телефонные номера в США состоят из 10 цифр.

• Луна сделана из сыра.

• 42 - правильный квадрат.

• Каждое четное число больше 2 может быть выражено как сумма двух простых чисел.

• \ (3 + 7 = 12 \)

И это не утверждения:

Причина, по которой предложение «\ (3 + x = 12 \)» не является утверждением, состоит в том, что оно содержит переменную. В зависимости от того, что такое \ (x \), предложение либо истинно, либо ложно, но сейчас это не так.Один из способов превратить предложение в оператор состоит в том, чтобы каким-либо образом указать значение переменной. Это можно сделать, указав конкретную замену, например, «\ (3 + x = 12 \) where \ (x = 9 \ text {,} \)», что является истинным утверждением. Или вы можете захватить свободную переменную, количественно оценив над ней, как в «для всех значений \ (x \ text {,} \) \ (3 + x = 12 \ text {,} \)», что ложно. Мы обсудим кванторы более подробно в конце этого раздела.

Вы можете построить более сложные (молекулярные) утверждения из более простых (атомарных или молекулярных), используя логических связок . Например, это молекулярное утверждение:

Телефонные номера в США состоят из 10 цифр, 42 из которых представляют собой полный квадрат.

Обратите внимание, что мы можем разбить это на два небольших утверждения. Два более коротких утверждения - это , соединенные с помощью «и». Мы рассмотрим 5 связок: «и» (Сэм - мужчина, а Крис - женщина), «или» (Сэм - мужчина или Крис - женщина), «если…, то…» (если Сэм - мужчина, тогда Крис - женщина), «если и только если» (Сэм - мужчина, если и только если Крис - женщина) и «нет» (Сэм не мужчина).Первые четыре называются двоичными связками (потому что они соединяют два оператора), а «не» - это пример унарной связки (поскольку он применяется к одному оператору).

Эти молекулярные утверждения, конечно же, остаются утверждениями, поэтому они должны быть либо истинными, либо ложными. Абсолютно ключевым наблюдением здесь является то, что значение истинности , достигаемое молекулярным утверждением, полностью определяется типом связки и значениями истинности частей.Нам не нужно знать, что на самом деле говорят части, только то, истинны они или ложны. Итак, чтобы проанализировать логические связки, достаточно рассмотреть пропозициональных переменных (иногда называемых сентенциональными переменными), обычно заглавными буквами в середине алфавита: \ (P, Q, R, S, \ ldots \ text {. } \) Мы думаем, что они заменяют (обычно атомарные) операторы, но есть только два значений , которых могут достичь переменные: истина или ложь. ¹ У нас также есть символы для логических связок: \ (\ wedge \ text {,} \) \ (\ vee \ text {,} \) \ (\ imp \ text {,} \) \ (\ iff \ текст {,} \) \ (\ neg \ text {.} \)

В компьютерном программировании мы должны называть такие переменные Булевыми переменными .

Логические связки.

• \ (P \ wedge Q \) читается как «\ (P \) и \ (Q \ text {,} \)» и называется соединением .
• \ (P \ vee Q \) читается как «\ (P \) или \ (Q \ text {,} \)» и называется дизъюнкцией .
• \ (P \ imp Q \) читается как «если \ (P \), то \ (Q \ text {,} \)» и называется импликацией или условным .
• \ (P \ iff Q \) читается как «\ (P \) тогда и только тогда, когда \ (Q \ text {,} \)» и называется двусмысленным .
• \ (\ neg P \) читается как «не \ (P \ text {,} \)» и называется отрицанием .

Значение истинности утверждения определяется значением (ями) истинности его части (частей) в зависимости от связок:

Условия истинности для связок.

• \ (P \ wedge Q \) истинно, когда оба \ (P \) и \ (Q \) истинны
• \ (P \ vee Q \) истинно, когда \ (P \) или \ (Q \) или оба истинны.
• \ (P \ imp Q \) истинно, когда \ (P \) ложно или \ (Q \) истинно, или оба.
• \ (P \ iff Q \) истинно, когда \ (P \) и \ (Q \) оба истинны, или оба ложны.
• \ (\ neg P \) истинно, когда \ (P \) ложно.

Обратите внимание, что для нас или - это включительно или (а не иногда используемое исключительное или ), что означает, что \ (P \ vee Q \) на самом деле верно, когда и \ (P \), и \ (Q \) верны. Что касается других связок, «и» ведет себя так, как и следовало ожидать, как и отрицание. Двуусловное (если и только если) может показаться немного странным, но вы должны думать об этом как о том, что две части операторов эквивалентны в том смысле, что они имеют одинаковое значение истинности.Остается только условное выражение \ (P \ imp Q \), которое в математике имеет несколько иное значение, чем при обычном использовании. Однако импликации настолько распространены и полезны в математике, что мы должны научиться свободно пользоваться ими, и как таковые они заслуживают отдельного раздела.

Подраздел Значение

Последствия.

Импликация или условная - это молекулярное утверждение формы

\ begin {уравнение *} P \ imp Q \ end {уравнение *}

где \ (P \) и \ (Q \) - утверждения.Мы говорим, что

• \ (P \) - это гипотеза (или предшествующее ).
• \ (Q \) - это , вывод (или , следовательно, ).

Подразумевается, что истинно при условии, что \ (P \) ложно или \ (Q \) истинно (или оба), и ложно в противном случае. В частности, единственный способ, чтобы \ (P \ imp Q \) было ложным, - это чтобы \ (P \) было истинным, и \ (Q \) было ложным.

Самым распространенным типом утверждения в математике является импликация.2 \ text {.} \) ”

Тем не менее, важно помнить, что импликация - это утверждение, и поэтому оно либо истинно, либо ложно. Значение истинности импликации определяется значениями истинности его двух частей. Чтобы согласиться с приведенным выше использованием, мы говорим, что импликация истинна либо тогда, когда гипотеза ложна, либо когда верен вывод. Это оставляет только один способ, чтобы импликация была ложной: когда гипотеза верна, а вывод ложен.

Пример 0.2.2.

Рассмотрим выписку:

Если Боб получит 90 баллов в финале, то Боб пройдет класс.

Это определенно подразумевается: \ (P \) - это утверждение «Боб получает 90 баллов в финале», а \ (Q \) - утверждение «Боб передаст класс».

Предположим, я сделал это заявление Бобу. При каких обстоятельствах было бы справедливо называть меня лжецом? Что, если Боб действительно набрал 90 баллов в финале и сдал класс? Тогда я не солгал; мое утверждение верно.Однако, если Боб получил 90 баллов в финале и не прошел класс, я солгал, сделав утверждение ложным. Сложный случай таков: что, если Боб не набрал 90 баллов в финале? Может, он проходит класс, а может, нет. В любом случае я солгал? Думаю, нет. В этих двух последних случаях \ (P \) было ложным, а утверждение \ (P \ imp Q \) было истинным. В первом случае \ (Q \) было истинным, как и \ (P \ imp Q \ text {.} \). Итак, \ (P \ imp Q \) истинно, когда либо \ (P \) ложно, либо \ (Q \) верно.

Для ясности, хотя мы иногда читаем \ (P \ imp Q \) как «\ (P \) подразумевает \ (Q \)», мы не настаиваем на существовании причинно-следственной связи между утверждениями \ (P \) и \ (Q \ text {.} \) В частности, если вы утверждаете, что \ (P \ imp Q \) является ложным , вы не утверждаете, что \ (P \) не подразумевает \ (Q \ text {,} \), а скорее, что \ (P \) истинно, а \ (Q \) ложно.

Пример 0.2.3.

Решите, какие из следующих утверждений верны, а какие нет. Кратко объясню.

1. Если \ (1 = 1 \ text {,} \), то у большинства лошадей 4 ноги.

2. Если \ (0 = 1 \ text {,} \), то \ (1 = 1 \ text {.} \)

3. Если 8 - простое число, то 7624-я цифра \ (\ pi \) - это 8.

4. Если 7624-я цифра \ (\ pi \) равна 8, то \ (2 + 2 = 4 \ text {.} \)

Все четыре утверждения верны. Помните, что единственный способ сделать импликацию ложной - это если часть , если будет истинной, а часть , то будет ложной.

1. Здесь и гипотеза, и вывод верны, значит, верно и импликация. Не имеет значения, что нет значимой связи между истинным математическим фактом и фактом о лошадях.

2. Здесь гипотеза ложна, а вывод верен, поэтому импликация верна.

3. Понятия не имею, что такое 7624-я цифра \ (\ pi \), но это не имеет значения. Поскольку гипотеза ложна, импликация автоматически верна.

4. Точно так же здесь, независимо от истинности гипотезы, вывод верен, а импликация истинна.

Важно понимать условия, при которых импликация истинна, не только для того, чтобы решить, истинно ли математическое утверждение, но и для того, чтобы доказать, что это так.Доказательства могут показаться пугающими (особенно если у вас был плохой школьный опыт геометрии), но все, что мы на самом деле делаем, - это объясняем (очень осторожно), почему утверждение верно. Если вы понимаете условия истинности импликации, у вас уже есть набросок доказательства.

Прямые доказательства последствий.

Чтобы доказать импликацию \ (P \ imp Q \ text {,} \), достаточно предположить \ (P \ text {,} \) и из него вывести \ (Q \ text {.} \)

Возможно, лучший способ сказать это - чтобы доказать утверждение формы \ (P \ imp Q \) напрямую, вы должны объяснить, почему \ (Q \) истинно, но вы, , дойдете до , предполагая \ (P \) верно в первую очередь.В конце концов, вы заботитесь только о том, истинно ли \ (Q \) в том случае, если \ (P \) тоже.

Существуют и другие методы доказательства утверждений (подтекстов и прочего), с которыми мы будем сталкиваться в ходе наших исследований, и постоянно открываются новые методы доказательства. Прямое доказательство - это самый простой и самый элегантный вид доказательства, и его преимущество состоит в том, что такое доказательство часто отлично объясняет , почему утверждение верно.

Пример 0.2.4.

Докажите: если два числа \ (a \) и \ (b \) четные, то их сумма \ (a + b \) четна.

Доказательство.

Предположим, что числа \ (a \) и \ (b \) четные. Это означает, что \ (a = 2k \) и \ (b = 2j \) для некоторых целых чисел \ (k \) и \ (j \ text {.} \) Тогда сумма равна \ (a + b = 2k + 2j = 2 (k + j) \ text {.} \) Поскольку \ (k + j \) является целым числом, это означает, что \ (a + b \) четное число.

Обратите внимание, что, поскольку мы можем предположить гипотезу импликации, у нас сразу есть место для начала. Доказательство основывается на постоянных вопросах и ответах: «Что это значит?» В конце концов, мы приходим к выводу, что это означает заключение.

Аргументы такого рода встречаются и вне математики. Если вы когда-либо начинали спор со слов «предположим, гипотетически…», значит, вы пытались получить прямое доказательство своего желаемого вывода.

Импликация - это способ выражения связи между двумя утверждениями. Часто интересно спросить, существуют ли другие отношения между утверждениями. Здесь мы вводим общий язык для ответа на этот вопрос.

Converse и Contrapositive.

• Преобразование импликации \ (P \ imp Q \) - это импликация \ (Q \ imp P \ text {.} \) Обратное НЕ логически эквивалентно исходной импликации. То есть, истинно ли обратное импликации, не зависит от истинности импликации.

• Контрпозитив импликации \ (P \ imp Q \) - это утверждение \ (\ neg Q \ imp \ neg P \ text {.} \) Импликация и ее контрпозитив логически эквивалентны (они оба истина или оба ложь).

Математика изобилует примерами истинных выводов, которые имеют ложное утверждение. Если число больше 2 простое, то это число нечетное. Однако то, что число нечетное, не означает, что оно простое. Если фигура представляет собой квадрат, то это прямоугольник. Но неверно, что если фигура представляет собой прямоугольник, то это квадрат.

Однако иногда верно и обратное истинное утверждение. Например, теорема Пифагора имеет истинное обратное: если \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ text {,} \), то треугольник со сторонами \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) и \ (c \) - это прямоугольный треугольник .Всякий раз, когда вы сталкиваетесь с математическим подтекстом, всегда разумно спросить, верно ли обратное.

С другой стороны, контрапозитив всегда имеет то же значение истинности, что и его первоначальный смысл. Это может быть очень полезно при принятии решения о том, верен ли вывод: часто легче проанализировать контрапозитив.

Пример 0.2.5.

Верно или неверно: если вы возьмете любые девять игральных карт из обычной колоды, то у вас будет как минимум три карты одной масти.Верно ли обратное?

Верно. Первоначальный вывод немного сложно проанализировать, потому что существует так много различных комбинаций из девяти карт. Но рассмотрим контрапозитив: если у нет хотя бы трех карт одной масти, то у вас нет девяти карт. Легко понять, почему это так: у вас может быть не более двух карт каждой из четырех мастей, всего восемь карт (или меньше).

Обратное: если у вас есть хотя бы три карты одной масти, значит, у вас девять карт.Это неправда. У вас может быть три пики и больше ничего. Обратите внимание: чтобы продемонстрировать, что обратное утверждение (импликация) неверно, мы привели пример, в котором гипотеза верна (у вас есть три карты одной масти), но где вывод неверен (у вас нет девяти карт).

Понимание обратных и контрапозитивных может помочь понять последствия и их истинные значения:

Пример 0.2.6.

Предположим, я скажу Сью, что если она наберет 93% в своем финале, то она получит пятерку в классе.Если предположить, что то, что я сказал, правда, что вы можете сделать в следующих случаях:

1. Сью получает 93% в финале.

2. Сью получает пятерку в классе.

3. Сью не набрала 93% в финале.

4. Сью не получила пятерки в классе.

Прежде всего обратите внимание, что всякий раз, когда \ (P \ imp Q \) и \ (P \) оба являются истинными утверждениями, \ (Q \) также должно быть истинным. Для этой задачи возьмите \ (P \), чтобы обозначить «Сью получила 93% на ее финал», и \ (Q \), чтобы означать «Сью получит пятерку в классе.”

1. У нас есть \ (P \ imp Q \) и \ (P \ text {,} \), поэтому \ (Q \) следует. Сью получает А.

2. Ничего не сделаешь. Сью могла получить пятёрку, например, потому что она сделала дополнительный балл. Обратите внимание, что мы не знаем, что если Сью получит \ (A \ text {,} \), то она получит 93% в своем финале. Это обратное исходному выводу, так что это может быть, а может и нет.

3. Противоположностью обратного \ (P \ imp Q \) является \ (\ neg P \ imp \ neg Q \ text {,} \), в котором говорится, что если Сью не наберет 93% в финале, то она не получит пятерку в классе.Но это не следует из первоначального значения. Опять же, мы ничего не можем сделать. Сью могла бы сделать дополнительную заслугу.

4. Что произойдет, если Сью не получит пятерку, но получит ли 93% в финале? Тогда \ (P \) будет истинным, а \ (Q \) - ложным. Это делает импликацию \ (P \ imp Q \) ложной! Должно быть, Сью не набрала 93% в финале. Обратите внимание, что теперь у нас есть импликация \ (\ neg Q \ imp \ neg P \), которая является противоположностью \ (P \ imp Q \ text {.} \), Поскольку \ (P \ imp Q \) предполагается истинным , мы знаем, что \ (\ neg Q \ imp \ neg P \) также верно.

Как мы сказали выше, импликация не является логически эквивалентной своей обратной, но вполне возможно, что и импликация, и обратная импликация верны. В этом случае, когда оба \ (P \ imp Q \) и \ (Q \ imp P \) истинны, мы говорим, что \ (P \) и \ (Q \) эквивалентны, и пишем \ (P \ iff Q \ text {.} \) Это биконусловие, о котором мы упоминали ранее.

Если и только если.

\ (P \ iff Q \) логически эквивалентно \ ((P \ imp Q) \ wedge (Q \ imp P) \ text {.} \)

Пример. Для целого числа \ (n \ text {,} \) верно, что \ (n \) четно тогда и только тогда, когда \ (n ^ 2 \) четно.2 \) четно, то \ (n \) четно.

Вы можете думать об утверждениях «если и только если» как о двух частях: импликации и обратном. Можно сказать, что одна часть - это «если», а другая - «только если». Мы также иногда говорим, что у операторов «если и только если» есть два направления: прямое \ ((P \ imp Q) \) и обратное (\ (P \ leftarrow Q \ text {,} \), что на самом деле просто неряшливая запись для \ (Q \ imp P \)).

Давайте немного подумаем, какая часть какая. Является ли \ (P \ imp Q \) частью «если» или частью «только если»? Рассмотрим пример.

Пример 0.2.7.

Предположим, я пою тогда и только тогда, когда я в душе. Мы знаем, что это означает как то, что если я пою, то я в душе, так и наоборот, что если я в душе, то я пою. Пусть \ (P \) будет высказыванием «Я пою», а \ (Q \) - «Я в душе». Итак, \ (P \ imp Q \) - это утверждение: «Если я пою, значит, я в душе». Какая часть оператора if и only if это?

Что мы действительно просим, ​​так это значение слов «Я пою , если я в душе» и «Я пою , только если я в душе.Когда первое (часть «если») ложно ? Когда я в душе, но не пою. Это то же условие ложности, что и утверждение «если я в душе, то я пою». Таким образом, часть «если» - это \ (Q \ imp P \ text {.} \). С другой стороны, сказать: «Я пою, только если я в душе» - это то же самое, что сказать «если я пою, то Я в душе », поэтому часть« только если »- это \ (P \ imp Q \ text {.} \)

Не так уж важно знать, какая часть является« если »или« только если » часть, но это действительно иллюстрирует кое-что очень, очень важное: есть много способов заявить о подтексте!

Пример 0.2.8.

Перефразируйте подтекст: «Если я сплю, значит, я сплю» как можно множеством различных способов. Затем проделайте то же самое с обратным.

Все следующие утверждения эквивалентны исходному заключению:

1. Я сплю, если мне снится.

2. Мне снится, только если я сплю.

3. Чтобы мечтать, я должен спать.

4. Чтобы присниться, нужно, чтобы я спал.

5. Чтобы уснуть, достаточно мечтать.

6. Мне не снятся сны, если я не сплю.

Следующее эквивалентно обратному (если я сплю, то мне снится):

1. Мне снится, если я сплю.

2. Я сплю, только если мне снится.

3. Для того, чтобы уснуть, необходимо, чтобы я мечтала.

4. Мне достаточно спать, чтобы мечтать.

5. Если мне не снится, значит, я не сплю.

Надеюсь, вы согласны с приведенным выше примером. Мы включаем «необходимые и достаточные» версии, потому что они часто встречаются при обсуждении математики. Собственно, давайте раз и навсегда согласимся, что они означают.

Необходимые и достаточные.

Если честно, у меня проблемы с ними, если я не очень осторожен. Я считаю, что для справки полезно использовать стандартный пример.

Пример 0.2.9.

Напомним из исчисления, если функция дифференцируема в точке \ (c \ text {,} \), то она непрерывна в \ (c \ text {,} \), но обратное этому утверждению неверно (для например, \ (f (x) = | x | \) в точке 0).Подтвердите этот факт, используя «необходимый и достаточный» язык.

Это правда, что для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке \ (c \ text {,} \), необходимо, чтобы функция была непрерывной в точке \ (c \ text {.} \). Однако это не обязательно, чтобы функция была дифференцируемой в точке \ (c \), чтобы она была непрерывной в точке \ (c \ text {.} \)

Верно, что для непрерывности в точке \ (c \ text {,} \) достаточно, чтобы функция была дифференцируемой в \ (c \ text {.} \). Однако это не тот случай, когда функция at \ (c \) достаточно для дифференцируемости функции в \ (c \ text {.} \)

Размышление о необходимости и достаточности условий также может помочь при написании доказательств и обосновании выводов. Если вы хотите установить какой-либо математический факт, полезно подумать, каких еще фактов будет достаточно (достаточно), чтобы доказать ваш факт. Если у вас есть предположение, подумайте о том, что также должно быть необходимым, если эта гипотеза верна.