Совершенные числа что это такое


Совершенное число - это... Что такое Совершенное число?

Совершенное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

Совершенные числа образуют последовательность:

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, … (последовательность A000396 в OEIS).

Примеры

  • 1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6.
  • 2-е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма 1 + 2 + 4 + 7 + 14 равна 28.
  • 3-е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 равна 496.
  • 4-е совершенное число — 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 равна 8128.

История изучения

Чётные совершенные числа

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число является совершенным, если число является простым (т. н. простые числа Мерсенна)[1]. Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности.

На апрель 2010 года известно 47 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS.

Нечётные совершенные числа

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org.

Свойства

  • Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел: ().
  • Все чётные совершенные числа являются треугольными числами; кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть, могут быть представлены в виде n(2n−1) для некоторого натурального числа n.
  • Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его само), равна 2.
  • Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.
  • Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p—1 нулей (следствие из их общего представления).

Примечательные факты

Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, базирующихся на авраамических религиях, — утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Джеймс А. Эшельман (en:James A. Eshelman) в книге «Еврейские иерархические имена Брии»[2] пишет, что в соответствии с гематрией:

«Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это „теософское расширение“ числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова Малькут, означающего „Царство“. Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78».
«Левиафан (буквально „змей изгибающийся“) — это один из четырех Князей Тьмы, воплощенный в форме змея. Поэтому удерживать Левиафана — это значит контролировать энергии Нефеш, ассоциируемые с Йесод. Во-вторых, „змей изгибающийся“ может означать и „свернувшийся кольцами змей“, то есть Кундалини. В-третьих, число слова „Левиафан“, равно 496, точно так же как и слова „Малькут“; представление о том, что архангел Йесод сдерживает природу Малькут, дает богатую пищу для размышлений. В-четвертых, число 496 — это сумма чисел от 1 до 31, то есть полное расширение, или проявление, имени „Эль“, божественного имени трех высших сефирот в Брии (в том числе и сефиры Кетер, архангелом которой является Йехоэль)».

В сочинении «Град Божий» Св. Августин писал[3]:

"Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней."

См. также

Примечания

Ссылки

Таблица совершенных чисел - Инженерный справочник DPVA.ru / Технический справочник ДПВА / Таблицы для инженеров (ex DPVA-info)





Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ....) + Таблицы Брадиса  / / Таблица совершенных чисел

Поделиться:   

Таблица совершенных чисел. 10 штук.

Совершенное число— натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (то есть всех положительных делителей, отличных от самого числа, включая 1). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

6
28
496
8128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно - другие подразделы данного раздела:

Что такое совершенные числа в математике?

Мы сталкиваемся с числами буквально каждое мгновение нашей земной жизни. Еще у древних греков существовала гематрия (нумерология). Для изображения чисел использовались буквы алфавита. Каждому имени или написанному слову соответствовало определенное число. На сегодня наука математика достигла очень высокой степени развития. Используемых в различных расчетах чисел так много, что они сведены в определенные группы. Особое место среди них занимают совершенные числа.

Истоки

В Древней Греции люди сравнивали свойства чисел в соответствии с их именами. Делителям чисел была отведена особая роль в нумерологии. В связи с этим, идеальными (совершенными) числами были те, что равнялись сумме своих делителей. Но, древние греки в состав делителей не включали само число. Чтобы лучше понять, что такое совершенные числа, покажем это на примерах.

Исходя из этого определения, самое меньшее идеальное число – это 6. После него будет 28. Затем 496.

Пифагор считал, что есть особенные числа. Такого же мнения придерживался и Эвклид. Для них эти числа были настолько необыкновенны и специфичны, что они ассоциировали их с мистическими. Таким числам свойственно быть совершенными. Вот, что такое совершенные числа для Пифагора и Эвклида. К ним относились 6 и 28.

Ключ

Математики всегда стремятся при решении задачи с несколькими вариантами решения найти общий ключ для нахождения ответа.

Так, они искали формулу, определяющую идеальное число. Но получалась лишь гипотеза, которую нужно было еще доказать. Представьте себе, уже определив, что такое совершенные числа, математики потратили больше тысячи лет, чтобы определить пятое из них! Спустя 1500 лет оно стало известно.

Очень весомый вклад в расчетах идеальных чисел внесли ученые Ферма и Мерсен (XVII ст.). Они предложили формулу для их вычисления. Благодаря французским математикам и трудам многих других ученых на начало 2018 года количество совершенных чисел достигло 50.

Прогресс

Безусловно, если на открытие совершенного числа, которое по счету было уже пятым, ушло полтора тысячелетия, то сегодня благодаря компьютерам они вычисляются намного быстрее. Например, открытие 39-го идеального числа пришлось на 2001 год. Оно имеет 4 миллиона знаков. В феврале 2008 года открыли 44-е совершенное число. В 2010 году – 47-е идеальное, и к 2018 году, как было сказано выше, открыто 50-е число со статусом совершенства.

Есть еще одна интересная особенность. Изучая, что такое совершенные числа, математики сделали открытие – они все четные.

Немного истории

Доподлинно неизвестно, когда впервые были замечены числа, соответствующие идеалу. Однако предполагают, что еще в древнем Египте и Вавилоне они изображались на пальцевом счете. И нетрудно догадаться, какое совершенное число они изображали. Безусловно, это было 6. До самого пятого века нашей эры сохранялся счет с помощью пальцев. Для показа числа 6 на руке загибали безымянный палец и выпрямляли остальные.

В Древнем Египте мерой длины служил локоть. Это было равносильно длине двадцати восьми пальцев. А, например, в Древнем Риме был интересный обычай – отводить шестое место на пирах почетным и знатным гостям.

Последователи Пифагора

Последователи Пифагора тоже увлекались идеальными числами. Какое из чисел является совершенным после 28, очень интересовало Евклида (IV в. до н. э.). Он дал ключ к поиску всех идеальных четных чисел. Интерес представляет девятая книга Евклидовых «Начал». Среди его теорем есть та, которая объясняет, что совершенным называется число, обладающее замечательным свойством:

значение р будет равносильно выражению 1+2+4+…+2n, что можно записать как 2n+1-1. Это простое число. Но уже 2np будет совершенным.

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, нужно рассмотреть все собственные делители числа 2np и подсчитать их сумму.

Это открытие предположительно принадлежит ученикам Пифагора.

Правило Евклида

Кроме того, Евклид доказал: вид четного совершенного числа представлен математически как 2n-1(2n-1). Если n – простое и 2n-1 будет простым.

Правилом Евклида пользовался древнегреческий математик Никомах из Герасы (I-II в.). Он нашел идеальные числа как 6, 28, 496, 8128. Никомах Геразский высказывался об идеальных числах как про очень красивые, но малочисленные математические понятия.

Полторы тысячи лет спустя немецкий ученый Региомонтан (Йоганн Мюллер) открыл пятое совершенное число в математике. Им оказалось 33 550 336.

Дальнейшие поиски математиков

Числа, которые считаются простыми и относятся к ряду 2n-1, носят название – числа Мерсенна. Это название им дано в честь французского математика, жившего в XVII веке. Именно он открыл восьмое совершенное число в 1644 году.

Спустя 250 лет русский ученый математик Первушин И. М. из Пермской губернии нашел девятое идеальное число.

С 1952 года в подобные математические изыскания подключили ЭВМ (электронно-вычислительные машины). Скорость расчетов значительно увеличилась. К примеру, стало известно, что в отличие от первого идеального числа 6, являющегося однозначным, двадцать четвертое имеет в своем арсенале больше чем 12 000 знаков!

История про шахматную доску

Есть одна очень интересная история про шахматную доску, царя и зерна. Однажды царь, будучи восхищенным от игры в шахматы, предложил создателю игры выбрать себе награду. Тогда мудрец выбрал себе скромную, казалось бы, награду – положить на клетки шахматной доски зерна. Удивил порядок раскладки: на первую клетку 1 зерно, на вторую – 2, третья клетка должна содержать 4, и так заполнить всю доску. Интересно то, что в последней 64 клетке оказалось 1 199 038 364 791, 120 тонн, что составляет 18 446 744 073 709 551 615 зерен.

Это количество приблизительно в 1800 раз выше мирового урожая пшеницы, собранного за всю человеческую историю.

Если считать массу одного зернышка как 0,065 г, тогда общая масса на шахматной доске будет 1,200 триллиона тонн.

Если бы нужно было построить амбар для хранения такого количества зерна, то его размеры были бы больше горы Эверест: 10 х 10 х 15 (км), а в объемах это составило бы около 1500 км³!

Нумерология

В нумерологии существует такое понятие, как самое совершенное число 108, приносящее успех. Его корни уходят в ведическую культуру. Считается, что если проделать определенное действие ровно 108 раз, то в этом мероприятии будет достигнута определенная ступень совершенства. Такое мнение связано с устройством человеческой памяти: она разделена на кратковременную и постоянную (внутреннюю). Так вот, именно во внутреннюю память помещаются те понятия, которые человек выполнил 108 раз. Возможно, поэтому четки для молитвы в классическом исполнении содержат именно 108 бусинок. Так, после прочтения молитвы по полному кругу четок она становится частью постоянной памяти человека.

Мистика и факты

Чтобы понять, является ли число совершенным, необходимо проделывать определенные расчеты. Другого пути нет. И такие числа встречаются редко. Например, пифагореец Ямблих писал об идеальных числах как о явлении, встречающемся от мириады до мириады мириад, и затем от мириады мириад до мириад мириад мириад и т. д. Однако в XIX веке были проведены проверочные расчеты, которые показали, что совершенные числа нам встречаются еще реже. Так, от 1020 до 1036 нет никакого совершенного числа, а если следовать Ямблиху, то их должно быть четыре.

Скорее всего, именно трудность нахождения таких чисел послужила поводом к наделению их мистическими свойствами. Хотя, опираясь на библейскую историю, ее исследователи сделали вывод, что мир сотворен действительно прекрасным и совершенным, ибо число дней творения – это 6. А вот человек неидеален, так как сотворен и живет в дне седьмом. Однако его задача – это стремиться к совершенству.

Интересными фактами являются следующие:

  • 8 людей спаслось в Ноевом Ковчеге после всемирного потопа. Также в нем спаслись по семь пар чистых и нечистых животных. Если суммировать всех спасшихся в Ноевом Ковчеге, то выходит число 28, являющееся совершенным.
  • Руки человека – это совершенное орудие. Они имеют 10 пальцев, которые наделены 28 фалангами.
  • Луна совершает околоземные обороты каждые 28 дней.

Пифагорийцы число 6 считали психогоническим. Геометрический символ, соответствующий 6, – это гексаграмма.

При начертании квадрата можно провести в нем диагонали. Тогда несложно будет заметить, что его вершины соединены 6 отрезками. Если то же проделать с кубом, то получится 12 ребер и 16 диагоналей (12 граней, 4 куба). В сумме получится 28. Аналогичная ситуация будет с тетраэдром, вершины которого соединены 6 ребрами. Восьмиугольник тоже имеет причастность к совершенному числу 28 (20 диагоналей плюс 8 сторон). А семигранная пирамида имеет 7 ребер и 7 сторон основания с 14 диагоналями. В сумме это число 28.

Интересные расчеты

Итак, совершенным называется число, равное сумме делителей:

1 + 2 + 3 + … + n

Суммируются все делители, которые меньше самого числа.

Каждое идеальное число, кроме 6, – это частичная сумма ряда, состоящего из нечетных чисел в третьей степени: 13 + 33 + 53 + … n³.

Еще одно удивительное свойство этих чисел заключается в следующем: сумма обратных значений делителей, в том числе равного самому числу, всегда будет 2. Например, возьмем 28, тогда 1/1+1/2+ 1/4+1/7+1/14+1/28 = 2.

Как было сказано выше, все числа, которые можно найти с помощью формулы Евклида, будут четные. До сей поры нам не известны нечетные идеальные числа. Безусловно, в последнее время сделан великий прорыв в науке математике и в вопросе совершенных чисел в частности. Однако проблема изучения этих математических понятий остается открытой. Если даже и предположить существование нечетного идеального числа, то оно должно будет быть больше чем 10 300 и в минимуме иметь 75 простых делителей, учитывая кратность (9 из них должны быть разными).

Также совершенно непонятно, конечно ли число совершенных чисел или все-таки ограничено?

Все четные совершенные числа равносильны сумме последовательных натуральных чисел. Другими словами, они треугольные.

Числа, которые можно записать в виде 2p – 1, называют числами Мерсенна. У каждого такого числа есть соответствующее совершенное число. То же самое можно сказать наоборот: каждому идеальному числу соответствует число Мерсенна.

Еще одним важным открытием стала связь между двоичностью и совершенством. Если внимательно посмотреть, то мы увидим связь с геометрической прогрессией.

Рядом с совершенными непременно стоит отметить дружественные числа. Это два числа, которым свойственно правило: каждое равносильно сумме делителей второго. Меньшими из них являются 220 и 284. Пифагорейцам они были знакомы. Им присвоили статус символа дружбы. Следующую пару открыли в 1636 году. Это 17 296 и 18 416. Эта дружественная пара стала нам известна благодаря французскому юристу и математику Пьеру Ферме.

А вот в 1867 году математический мир потрясла новость от шестнадцатилетнего итальянца Никколо Паганини (тезка известного скрипача), который сообщил о дружественной паре чисел 1184 и 1210. Она ближайшая к 220 и 284. Удивительно, но пару проглядели все именитые математики, занимавшиеся изучением дружественных чисел.

Совершенное число — Математика

Совершенное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное  число, равное сумме всех своих собственных  делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). По мере того как натуральные  числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

Совершенные числа образуют последовательность: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, …

Примеры

1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6.

  • 2-е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма 1 + 2 + 4 + 7 + 14 равна 28.
  • 3-е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 равна 496.
  • 4-е совершенное число — 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 равна 8128.

История изучения

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида. Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа:

8 589 869 056 и 137 438 691 328.

В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа. В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности.

Известно 47  чётных совершенных чисел, поиском новых  чисел занимается проект распределённых вычислений GIMPS.

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org.

Совершенные числа - это... Что такое Совершенные числа?


Совершенные числа
        целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = 1+2+3 и 28 = 1+2+4+7+14 являются совершенными. Ещё Евклидом (3 в. до н. э.) было указано, что чётные С. ч. можно получить из формулы: 2p–1 (2p – 1) при условии, что р и 2p есть числа простые. Таким путём было найдено около 20 чётных С. ч. До сих пор (1976) неизвестно ни одного нечётного С. ч. и вопрос о существовании их остаётся открытым. Исследования о С. ч. были начаты пифагорейцами, приписывавшими особый мистический смысл числам и их сочетаниям.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

  • Совершеннолетие
  • Совесть

Смотреть что такое "Совершенные числа" в других словарях:

  • Совершенные числа — …   Википедия

  • Числа Армстронга — Самовлюблённое число, или совершенный цифровой инвариант (англ. pluperfect digital invariant, PPDI) или число Армстронга  натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную… …   Википедия

  • Недостаточные числа — Недостаточное число натуральное число, сумма собственных делителей которого меньше самого числа. Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: недостаточные числа (последовательность A005100 в OEIS), совершенные числа, избыточные… …   Википедия

  • Центрированные полигональные числа — Центрированные полигональные числа  это класс фигурных чисел, каждое сформировано вокруг центральной точки, окружённой слоями многоугольников с постоянным числом сторон. Каждый слой содержит на одну точку больше чем предыдущий., так что… …   Википедия

  • Дружественные числа — Дружественные числа  два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Иногда частным случаем… …   Википедия

  • Избыточные числа — Избыточное число  положительное целое число n, сумма положительных собственных делителей (отличных от n) которого превышает n. Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: избыточные числа, совершенные числа, недостаточные… …   Википедия

  • Слегка избыточные числа — Слегка избыточное число, или квазисовершенное число  избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа. До настоящего времени не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора,… …   Википедия

  • Слегка недостаточные числа — Слегка недостаточное число (почти совершенное число[1]) недостаточное число, сумма собственных делителей которого меньше самого числа ровно на единицу. Слегка недостаточными числами являются все натуральные степени числа 2. Неизвестно,… …   Википедия

  • Квазисовершенные числа — Слегка избыточное число, или квазисовершенное число избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа. До настоящего времени не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора, впервые… …   Википедия

  • Совершенное число — (др. греч. ἀριθμὸς τέλειος)  натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются… …   Википедия

Книги

  • Войсковые учебники. Кавалерия. Учебник для урядника, нет. Войсковые Учебники составлены с разрешения Главного Штаба, с целью дать войскам совершенные руководства и вместе с тем, способствовать проведению во всей армии, повсем родам войск, единых… Подробнее  Купить за 2290 грн (только Украина)
  • Идеология конструирования, Александр Крайнев. Представляемая монография содержит систему принципов, тенденций и идей совершенствования конструкций (структуры, геометрии) объектов искусственного мира. От известных аналогов она отличается… Подробнее  Купить за 1415 руб
  • Архимедово лето, или История содружества юных математиков. Фигуры одного росчерка, лабиринты и т. д., Бобров Сергей Павлович. Фигуры одного росчерка, лабиринты, геометрия путей и узлов, многогранники, математические загадки и шутки, игра в Дразнилку, совершенные числа. Лёву и Вовку привезли на летние каникулы в… Подробнее  Купить за 906 руб
Другие книги по запросу «Совершенные числа» >>

Совершенные числа - это... Что такое Совершенные числа?


Совершенные числа

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Совершеннолетний
  • Совершенный газ

Смотреть что такое "Совершенные числа" в других словарях:

  • Совершенные числа —         целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = 1+2+3 и 28 = 1+2+4+7+14 являются совершенными. Ещё Евклидом (3 в. до н. э.) было указано, что чётные С. ч. можно… …   Большая советская энциклопедия

  • Числа Армстронга — Самовлюблённое число, или совершенный цифровой инвариант (англ. pluperfect digital invariant, PPDI) или число Армстронга  натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную… …   Википедия

  • Недостаточные числа — Недостаточное число натуральное число, сумма собственных делителей которого меньше самого числа. Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: недостаточные числа (последовательность A005100 в OEIS), совершенные числа, избыточные… …   Википедия

  • Центрированные полигональные числа — Центрированные полигональные числа  это класс фигурных чисел, каждое сформировано вокруг центральной точки, окружённой слоями многоугольников с постоянным числом сторон. Каждый слой содержит на одну точку больше чем предыдущий., так что… …   Википедия

  • Дружественные числа — Дружественные числа  два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Иногда частным случаем… …   Википедия

  • Избыточные числа — Избыточное число  положительное целое число n, сумма положительных собственных делителей (отличных от n) которого превышает n. Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: избыточные числа, совершенные числа, недостаточные… …   Википедия

  • Слегка избыточные числа — Слегка избыточное число, или квазисовершенное число  избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа. До настоящего времени не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора,… …   Википедия

  • Слегка недостаточные числа — Слегка недостаточное число (почти совершенное число[1]) недостаточное число, сумма собственных делителей которого меньше самого числа ровно на единицу. Слегка недостаточными числами являются все натуральные степени числа 2. Неизвестно,… …   Википедия

  • Квазисовершенные числа — Слегка избыточное число, или квазисовершенное число избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа. До настоящего времени не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора, впервые… …   Википедия

  • Совершенное число — (др. греч. ἀριθμὸς τέλειος)  натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются… …   Википедия

Книги

  • Войсковые учебники. Кавалерия. Учебник для урядника, нет. Войсковые Учебники составлены с разрешения Главного Штаба, с целью дать войскам совершенные руководства и вместе с тем, способствовать проведению во всей армии, повсем родам войск, единых… Подробнее  Купить за 2290 грн (только Украина)
  • Идеология конструирования, Александр Крайнев. Представляемая монография содержит систему принципов, тенденций и идей совершенствования конструкций (структуры, геометрии) объектов искусственного мира. От известных аналогов она отличается… Подробнее  Купить за 1415 руб
  • Архимедово лето, или История содружества юных математиков. Фигуры одного росчерка, лабиринты и т. д., Бобров Сергей Павлович. Фигуры одного росчерка, лабиринты, геометрия путей и узлов, многогранники, математические загадки и шутки, игра в Дразнилку, совершенные числа. Лёву и Вовку привезли на летние каникулы в… Подробнее  Купить за 906 руб
Другие книги по запросу «Совершенные числа» >>

Совершенные числа • Евгений Епифанов • Научно-популярные задачи на «Элементах» • Математика

В подсказках содержится значительная часть доказательств обоих фактов. Восполним здесь недостающие шаги.

1. Теорема Евклида.

а) Для начала нужно доказать, что сигма-функция действительно мультипликативна. На самом деле, поскольку каждое натуральное число однозначно раскладывается на простые множители (это утверждение называют основной теоремой арифметики), достаточно доказать, что σ(pq) = σ(p)σ(q), где p и q — различные простые числа. Но довольно очевидно, что в этом случае σ(p) = 1 + p, σ(q) = 1 + q, а σ(pq) = 1 + p + q + pq = (1 + p)(1 + q).

Теперь завершим доказательство первого факта: если простое число имеет вид 2n – 1, то число N = 2n–1(2n – 1) — совершенное. Для этого достаточно проверить, что σ(N) = 2N (так как сигма-функция — это сумма всех делителей числа, то есть сумма собственных делителей плюс само число). Проверяем: σ(N) = σ(2n–1(2n – 1)) = σ(2n–1)σ(2n – 1) = (1 + 2 + ... + 2n–1)·((2n – 1) + 1) = (2n – 1)·2n = 2N. Здесь было использовано, что раз 2n – 1 — простое число, то σ(2n – 1) = (2n – 1) + 1 = 2n.

б) Доведем до конца и второе решение. Найдем все собственные делители числа 2n–1(2n – 1). Это 1; степени двойки 2, 22, ..., 2n–1; простое число p = 2n – 1; а также делители вида 2m·p, где 1 ≤ m ≤ n – 2. Суммирование всех делителей тем самым разбивается на подсчет сумм двух геометрических прогрессий. Первая начинается с 1, а вторая — с числа p; у обеих знаменатель равен 2. По формуле суммы элементов геометрической прогрессии сумма всех элементов первой прогрессии равна 1 + 2 + ... + 2n–1 = (2n – 1)/2 – 1 = 2n – 1 (и это равно p). Вторая прогрессия дает p·(2n–1 – 1)/(2 – 1) = p·(2n–1 – 1). Итого, получается p + p·(2n–1 – 1) = 2n–1·p — то, что надо.

Скорее всего, Евклид не был знаком с сигма-функцией (да и вообще с понятием функции), поэтому его доказательство изложено несколько другим языком и ближе к решению из пункта б). Оно содержится в предложении 36 из IX книги «Начал» и доступно, например, здесь.

2. Теорема Эйлера.

Прежде чем доказывать теорему Эйлера, отметим еще, что если 2n – 1 — простое число Мерсенна, то n также должно быть простым числом. Дело в том, что если n = km — составное, то 2km – 1  = (2k)m – 1 делится на 2k – 1 (поскольку выражение xm – 1 делится на x – 1, это одна из формул сокращенного умножения). А это противоречит простоте числа 2n – 1. Обратное утверждение — «если n — простое, то 2n – 1 также простое» — не верно: 211 – 1 = 23·89.

Вернемся к теореме Эйлера. Наша цель — доказать, что любое четное совершенное число имеет вид, полученный еще Евклидом. В подсказке 2 были намечены первые этапы доказательства, и осталось сделать решающий шаг. Из равенства 2k+1·M = σ(m) следует, что m делится на M. Но m делится также и на само себя. При этом M + m = M + (2k+1 – 1)·M = 2k+1·M = σ(m). Это означает, что у числа m нет других делителей, кроме M и m. Значит, M = 1, а m — простое число, которое имеет вид 2k+1 – 1. Тогда N = 2k·m = 2k(2k+1 – 1), что и требовалось.

Итак, формулы доказаны. Применим их, чтобы найти какие-нибудь совершенные числа. При n = 2 формула дает 6, а при n = 3 получается 28; это первые два совершенных числа. По свойству простых чисел Мерсенна, нам нужно подобрать такое простое n, что 2n – 1 будет также простым числом, а составные n можно вообще не рассматривать. При n = 5 получится 2n – 1 = 32 – 1 = 31, это нам подходит. Вот и третье совершенное число — 16·31 = 496. На всякий случай проверим его совершенность явно. Выпишем все собственные делители 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Их сумма равна 496, так что всё в порядке. Следующее совершенное число получается при n = 7, это 8128. Соответствующее простое число Мерсенна равно 27 – 1 = 127, и довольно легко проверить, что оно действительно простое. А вот пятое совершенное число получается при n = 13 и равно 33 550 336. Но проверять его вручную уже очень утомительно (однако это не помешало кому-то открыть его еще в XV веке!).

Суперсовершенное число — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Суперсовершенное число — натуральное число n, такое, что:

σ2(n)=σ(σ(n))=2n,{\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,}

где σ является суммой делителей числа n[1]. Суперсовершенные числа являются обобщением совершенных чисел. Термин был придуман Д. Сурьянараяной в 1969 году[2].

Суперсовершенные числа образуют последовательность: 2, 4, 16, 64, 4096, 65 536, 262 144, … (последовательность A019279 в OEIS).

Все чётные суперсовершенные числа имеют вид 2p{\displaystyle 2^{p}}, где 2p+1−1{\displaystyle 2^{p+1}-1} — простое число Мерсенна.

Неизвестно, существуют ли нечётные суперсовершенные числа. В 2000 году Хансакер и Померанс доказали, что не существует нечётных суперсовершенных чисел, меньших, чем 7×1024{\displaystyle 7\times 10^{24}}[3].

Совершенные и суперсовершенные числа являются простейшими примерами широкого класса m-суперсовершенных чисел, которые удовлетворяют:

σm(n)=2n,{\displaystyle \sigma ^{m}(n)=2n,}

при m=1 и 2 соответственно[2].

m-суперсовершенные числа в свою очередь являются частным случаем (m, k)-совершенных чисел, которые удовлетворяют[4]:

σm(n)=kn,{\displaystyle \sigma ^{m}(n)=kn,}.

В этих обозначениях, совершенные числа — (1,2)-совершенные числа, мультисовершенные числа — (1,k)-совершенные числа, суперсовершенные числа — (2,2)-суперсовершенные числа и m-суперсовершенные числа — (m,2)-совершенные числа.

Примеры классов (m, k)-совершенных чисел:

m k (m,k)-совершенные числа OEIS
2 3 8, 21, 512 A019281
2 4 15, 1023, 29127 A019282
2 6 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024 A019283
2 7 24, 1536, 47360, 343976 A019284
2 8 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072 A019285
2 9 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936 A019286
2 10 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296 A019287
2 11 4404480, 57669920, 238608384 A019288
2 12 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120 A019289
3 любой 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, … A019292
4 любой 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, … A019293
  1. Weisstein, Eric W. Superperfect Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. 1 2 Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. B9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
  3. ↑ A019279
  4. ↑ Cohen, G. L. and te Riele, J. J. «Iterating the Sum-of-Divisors Function.» Experim. Math. 5, 93-100, 1996.
  • Cohen, G. L. and te Riele, J. J. «Iterating the Sum-of-Divisors Function.» Experim. Math. 5, 93-100, 1996.
  • Guy, R. K. «Superperfect Numbers.» §B9 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 65-66, 1994.
  • Kanold, H.-J. "Über 'Super Perfect Numbers.' " Elem. Math. 24, 61-62, 1969.
  • Lord, G. «Even Perfect and Superperfect Numbers.» Elem. Math. 30, 87-88, 1975.
  • Sloane, N. J. A. Sequence A019279 in «The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.»
  • Suryanarayana, D. «Super Perfect Numbers.» Elem. Math. 24, 16-17, 1969.
  • Suryanarayana, D. «There Is No Odd Super Perfect Number of the Form p^(2alpha).» Elem. Math. 24, 148—150, 1973.

Совершенные числа - Математический кружок - Математическая шкатулка - Каталог статей

Число 6 делится на себя, а также на 1, 2 и 3, причем 6 = 1+2+3.

Число 28 имеет пять делителей, кроме самого себя: 1, 2, 4, 7 и 14, причем, аналогично, 28 = 1+2+4+7+14.

Легко заметить, что далеко не всякое натуральное число равно сумме всех своих делителей, отличающихся от этого числа. Числа, которые обладают этим свойством, математиками древней Греции были названы совершенными.

Первое самое меньшее совершенное число — 6 (1 + 2 + 3 = 6). Может быть, именно поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах у древних римлян.

Второе по старшинству совершенное число — 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). В некоторых ученых обществах и академиях полагалось иметь 28 членов. Почти до наших дней дожила эта традиция, идущая из далеких эпох. В Риме в 1917г. при выполнении подземных работ обнаружилось помещение одной из древнейших академий: зал и вокруг него 28 кабинетов – как раз по числу членов академии.

По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число — 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), четвёртое — 8128, пятое — 33 550 336, шестое — 8 589 869 056, седьмое — 137 438 691 328.

Первые четыре совершенные числа: 6, 28, 496, 8128 были обнаружены очень давно, 2000 лет назад. Эти числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число было выявлено лишь 500 лет назад, в 1460г. Это число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел еще два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности. На апрель 2010 года известно 47 чётных совершенных чисел.

Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней. В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

Рисунок Савченко Е.М.


Лев Николаевич Толстой не раз
шутливо "хвастался" тем, что дата
его рождения (28 августа по
календарю того времени) является совершенным числом.
Год рождения Л.Н. Толстого (1828)– тоже интересное число: последние
две цифры (28) образуют
совершенное число;
если обменять местами первые
цифры, то получится 8128 –
четвертое совершенное число.

Для увеличения рисунков
кликните по изображению.
Нажмите и удерживайте
для перемещения.

§ 4. Совершенные числа. Приглашение в теорию чисел

§ 4. Совершенные числа

Нумерология (или гематрия, как ее иногда еще называют) была распространенным увлечением у древних греков. Естественным объяснением этому является то, что числа в Древней Греции изображались буквами греческого алфавита, и поэтому каждому написанному слову, каждому имени соответствовало некоторое число. Люди могли сравнивать свойства чисел, соответствующих их именам.

Делители или аликвотные части[6] чисел играли важную роль в нумерологии. В этом смысле идеальными, или, как их называют, совершенными числами являлись такие числа, которые составлялись из своих аликвотиых частей, т. е. равнялись сумме своих делителей. Здесь следует отметить, что древние греки не включали само число в состав его делителей.

Наименьшим совершенным числом является 6:

6 = 1 + 2 + 3.

За ним следует число 28:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,

далее число 496:

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Часто математик, увлеченный решением какой-либо проблемы и имеющий одно или несколько частных решений этой задачи, пытается найти закономерности, которые смогли бы дать ключ к нахождению общего решения. Указанные нами совершенные числа могут быть записаны в виде

6 = 2  3 = 2(22 — 1),

28 = 22  7 = 22(23 — 1),

496 = 24  31 = 24(25 — 1).

Это наталкивает нас на гипотезу:

Число является совершенным, если оно представляется в виде

Р = 2p-1(2p — 1) = 2р q, (3.4.1)

где

q = 2p — 1

является простым числом Мерсенна.

Этот результат, известный еще грекам, несложно доказать. Делителями числа Р, включая само число Р, очевидно, являются следующие числа:

1, 2, 22…, 2р-1,

q, 2q, 22q…, 2р-1q.

Запишем сумму этих делителей

1 + 2 +… + 2р-1 + q(1 + 2 +… + 2р-1),

которая равна

(1 + 2 +… + 2р-1)(q + 1) = (1 + 2 +… + 2р-1) 2р

Если вы не помните формулы для суммы членов геометрической прогрессии,

S = 1 + 2 +… + 2р-1,

то умножьте эту сумму на 2:

2S = 2 + 22 +… +2р-1 + 2р,

а затем, вычтя S, получите

S = 2p — 1 = q.

Таким образом, сумма всех делителей числа Р есть

2pq = 2 • 2p-1q,

а сумма всех делителей, кроме самого числа Р = 2p-1q, равна

2 2p-1q — 2p-1q = 2p-1q = Р.

Итак, наше число является совершенным.

Из этого результата следует, что каждое простое число Мерсенна порождает совершенное число. В § 2 второй главы говорилось, что известно всего 23 простых числа Мерсенна, следовательно, мы знаем также и 23 совершенных числа. Существуют ли другие виды совершенных чисел? Все совершенные числа вида (3.4.1) являются четными, можно доказать, что любое четное совершенное число имеет вид (3.4.1). Остается вопрос: существуют ли нечетные совершенные числа? В настоящее время мы не знаем ни одного такого числа, и вопрос о существовании нечетных совершенных чисел является одной из самых знаменитых проблем теории чисел. Если бы удалось обнаружить такое число, то это было бы крупным достижением. Вы можете поддаться соблазну найти такое число, перебирая различные нечетные числа. Но мы не советуем этого делать, так как по последним сообщениям Брайена Такхермана из IBM[7] (1968), нечетное совершенное число должно иметь по крайней мере 36 знаков.

Система задач 3.4.

1. Используя список простых чисел Мерсенна, найдите четвертое и пятое совершенные числа.

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

Совершенные числа Википедия

Совершенное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (то есть всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Совершенные числа образуют последовательность[1]:

6,
28,
496,
8128,
33 550 336,
8 589 869 056,
137 438 691 328,
2 305 843 008 139 952 128,
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176,
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216, …

Примеры[ | ]

  • 1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма равна 6.
  • 2-е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма равна 28.
  • 3-е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма равна 496.
  • 4-е совершенное число — 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма равна 8128.

История изучения[ | ]

Чётные совершенные числа[ | ]

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число  2p−1(2p−1){\displaystyle \ 2^{p-1}(2^{p}-1)} является совершенным, если число  2p−1{\displaystyle \ 2^{p}-1} является простым (т. н. простые числа Мерсенна)[2]. Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Первые четыре совершенных числа (соответствующие р = 2, 3, 5 и 7) приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число 33 550 336, соответствующее р = 13, обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий учёный Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.

На 2019 год известно 51 совершенное число, вытекающих из простых чисел Мерсенна, поиском которых занимается проект распределённых вычислений GIMPS.

Нечётные сов


Смотрите также