Простые числа это что такое

история и факты / Habr

Свойства простых чисел впервые начали изучать математики Древней Греции. Математики пифагорейской школы (500 — 300 до н.э.) в первую очередь интересовались мистическими и нумерологическими свойствами простых чисел. Они первыми пришли к идеям о совершенных и дружественных числах.

У совершенного числа сумма его собственных делителей равна ему самому. Например, собственные делители числа 6: 1, 2 и 3. 1 + 2 + 3 = 6. У числа 28 делители — это 1, 2, 4, 7 и 14. При этом, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Числа называются дружественными, если сумма собственных делителей одного числа равна другому, и наоборот – например, 220 и 284. Можно сказать, что совершенное число является дружественным для самого себя.

Ко времени появления работы Евклида «Начала» в 300 году до н.э. уже было доказано несколько важных фактов касательно простых чисел. В книге IX «Начал» Эвклид доказал, что простых чисел бесконечное количество. Это, кстати, один из первых примеров использования доказательства от противного. Также он доказывает Основную теорему арифметики – каждое целое число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел.

Также он показал, что если число 2ⁿ-1 является простым, то число 2^n-1 * (2ⁿ-1) будет совершенным. Другой математик, Эйлер, в 1747 году сумел показать, что все чётные совершенные числа можно записать в таком виде. По сей день неизвестно, существуют ли нечётные совершенные числа.

В году 200 году до н.э. грек Эратосфен придумал алгоритм для поиска простых чисел под названием «Решето Эратосфена».

А затем случился большой перерыв в истории исследования простых чисел, связанный со Средними веками.

Следующие открытия были сделаны уже в начале 17-го века математиком Ферма. Он доказал гипотезу Альбера Жирара, что любое простое число вида 4n+1 можно записать уникальным образом в виде суммы двух квадратов, и также сформулировал теорему о том, что любое число можно представить в виде суммы четырёх квадратов.

Он разработал новый метод факторизации больших чисел, и продемонстрировал его на числе 2027651281 = 44021 × 46061. Также он доказал Малую теорему Ферма: если p – простое число, то для любого целого a будет верно a^p = a modulo p.

Это утверждение доказывает половину того, что было известно как «китайская гипотеза», и датируется 2000 годами ранее: целое n является простым тогда и только тогда, если 2ⁿ-2 делится на n. Вторая часть гипотезы оказалась ложной – к примеру, 2³⁴¹ — 2 делится на 341, хотя число 341 составное: 341 = 31 × 11.

Малая теорема Ферма послужила основой множества других результатов в теории чисел и методов проверки чисел на принадлежность к простым – многие из которых используются и по сей день.

Ферма много переписывался со своими современниками, в особенности с монахом по имени Марен Мерсенн. В одном из писем он высказал гипотезу о том, что числа вида 2ⁿ+1 всегда будут простыми, если n является степенью двойки. Он проверил это для n = 1, 2, 4, 8 и 16, и был уверен, что в случае, когда n не является степенью двойки, число не обязательно получалось простым. Эти числа называются числами Ферма, и лишь через 100 лет Эйлер показал, что следующее число, 2³² + 1 = 4294967297 делится на 641, и следовательно, не является простым.

Числа вида 2ⁿ — 1 также служили предметом исследований, поскольку легко показать, что если n – составное, то и само число тоже составное. Эти числа называют числами Мерсенна, поскольку он активно их изучал.

Но не все числа вида 2ⁿ — 1, где n – простое, являются простыми. К примеру, 2¹¹ — 1 = 2047 = 23 * 89. Впервые это обнаружили в 1536 году.

Многие годы числа такого вида давали математикам наибольшие известные простые числа. Что число M₁₉, было доказано Катальди в 1588 году, и в течение 200 лет было наибольшим известным простым числом, пока Эйлер не доказал, что M₃₁ также простое. Этот рекорд продержался ещё сто лет, а затем Люкас показал, что M₁₂₇ — простое (а это уже число из 39 цифр), и после него исследования продолжились уже с появлением компьютеров.

В 1952 была доказана простота чисел M₅₂₁, M₆₀₇, M₁₂₇₉, M₂₂₀₃ и M₂₂₈₁.

К 2005 году найдено 42 простых чисел Мерсенна. Наибольшее из них, M_25964951, состоит из 7816230 цифр.

Работа Эйлера оказала огромное влияние на теорию чисел, в том числе и простых. Он расширил Малую теорему Ферма и ввёл φ-функцию. Факторизовал 5-е число Ферма 2³²+1, нашёл 60 пар дружественных чисел, и сформулировал (но не смог доказать) квадратичный закон взаимности.

Он первым ввёл методы математического анализа и разработал аналитическую теорию чисел. Он доказал, что не только гармонический ряд ∑ (1/n), но и ряд вида

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

получаемый суммой величин, обратных к простым числам, также расходится. Сумма n членов гармонического ряда растёт примерно как log(n), а второй ряд расходится медленнее, как log[ log(n) ]. Это значит, что, например, сумма обратных величин ко всем найденным на сегодняшний день простым числам даст всего 4, хотя ряд всё равно расходится.

На первый взгляд кажется, что простые числа распределены среди целых довольно случайно. К примеру, среди 100 чисел, идущих прямо перед 10000000, встречается 9 простых, а среди 100 чисел, идущих сразу после этого значения – всего 2. Но на больших отрезках простые числа распределены достаточно равномерно. Лежандр и Гаусс занимались вопросами их распределения. Гаусс как-то рассказывал другу, что в любые свободные 15 минут он всегда подсчитывает количество простых в очередной 1000 чисел. К концу жизни он сосчитал все простые числа в промежутке до 3 миллионов. Лежандр и Гаусс одинаково вычислили, что для больших n плотность простых чисел составляет 1/log(n). Лежандр оценил количество простых чисел в промежутке от 1 до n, как

π(n) = n/(log(n) — 1.08366)

А Гаусс – как логарифмический интеграл

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

с промежутком интегрирования от 2 до n.

Утверждение о плотности простых чисел 1/log(n) известно как Теорема о распределении простых чисел. Её пытались доказать в течение всего 19 века, а прогресса достигли Чебышёв и Риман. Они связали её с гипотезой Римана – по сию пору не доказанной гипотезой о распределении нулей дзета-функции Римана. Плотность простых чисел была одновременно доказана Адамаром и Валле-Пуссеном в 1896 году.

В теории простых чисел есть ещё множество нерешённых вопросов, некоторым из которых уже многие сотни лет:

гипотеза о простых числах-близнецах – о бесконечном количестве пар простых чисел, отличающихся друг от друга на 2
гипотеза Гольдбаха: любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел
бесконечно ли количество простых чисел вида n² + 1 ?
всегда ли можно найти простое число между n² and (n + 1) ²? (факт, что между n и 2n всегда есть простое число, было доказан Чебышёвым)
бесконечно ли число простых чисел Ферма? есть ли вообще простые числа Ферма после 4-го?
существует ли арифметическая прогрессия из последовательных простых чисел для любой заданной длины? например, для длины 4: 251, 257, 263, 269. Максимальная из найденных длина равна 26.
бесконечно ли число наборов из трёх последовательных простых чисел в арифметической прогрессии?
n² — n + 41 – простое число для 0 ≤ n ≤ 40. Бесконечно ли количество таких простых чисел? Тот же вопрос для формулы n² — 79 n + 1601. Эти числа простые для 0 ≤ n ≤ 79.
бесконечно ли количество простых чисел вида n# + 1? (n# — результат перемножения всех простых чисел, меньших n)
бесконечно ли количество простых чисел вида n# -1 ?
бесконечно ли количество простых чисел вида n! + 1?
бесконечно ли количество простых чисел вида n! – 1?
если p – простое, всегда ли 2^p-1 не содержит среди множителей квадратов простых чисел
содержит ли последовательность Фибоначчи бесконечное количество простых чисел?

Текущие рекорды среди простых чисел

Самое большое простое число, вычисленное проектом GIMPS [Great Internet Mersenne Prime Search], можно посмотреть в таблице на официальной странице проекта.
www.mersenne.org/primes

Самые большие близнецы среди простых чисел – это 2003663613 × 2¹⁹⁵⁰⁰⁰ ± 1. Они состоят из 58711 цифр, и были найдены в 2007 году.

Самое большое факториальное простое число (вида n! ± 1) – это 147855! — 1. Оно состоит из 142891 цифр и было найдено в 2002.

Наибольшее праймориальное простое число (число вида n# ± 1) – это 1098133# + 1.

Простые числа – ответы на главные вопросы

История изучений

Никто точно не знает, в каком обществе стали впервые рассматривать простые числа. Их изучают так давно, что у ученых нет записей тех времен. Есть предположения, что некоторые ранние цивилизации имели какое-то понимание простых чисел, но первым реальным доказательством этого являются египетские записи на папирусах, сделанные более 3500 лет назад.

Древние греки, скорее всего, были первыми, кто изучал простые числа как предмет научного интереса, и они считали, что простые числа важны для чисто абстрактной математики. Теорему Евклида по-прежнему изучают в школах, несмотря на то что ей уже больше 2000 лет.

После греков серьезное внимание простым числам снова уделили в XVII веке. С тех пор многие известные математики внесли важный вклад в наше понимание простых чисел. Пьер де Ферма совершил множество открытий и известен благодаря Великой теореме Ферма, 350-летней проблеме, связанной с простыми числами и решенной Эндрю Уайлсом в 1994 году. Леонард Эйлер доказал много теорем в XVIII веке, а в XIX веке большой прорыв был сделан благодаря Карлу Фридриху Гауссу, Пафнутию Чебышёву и Бернхарду Риману, особенно в отношении распределения простых чисел. Кульминацией всего этого стала до сих пор не решенная гипотеза Римана, которую часто называют важнейшей нерешенной задачей всей математики. Гипотеза Римана позволяет очень точно предсказать появление простых чисел, а также отчасти объясняет, почему они так трудно даются математикам.

Практические применения

У простых чисел существует огромное количество применений как в области математики, так и за ее пределами. Простые числа в наши дни используются практически ежедневно, хотя чаще всего люди об этом не подозревают. Простые числа представляют такое значение для ученых, поскольку они являются атомами умножения. Множество абстрактных проблем, касающихся умножения, можно было бы решить, если бы люди знали больше о простых числах. Математики часто разбивают одну проблему на несколько маленьких, и простые числа могли бы помочь в этом, если бы понимали их лучше.

Вне математики основные способы применения простых чисел связаны с компьютерами. Компьютеры хранят все данные в виде последовательности нулей и единиц, которая может быть выражена целым числом. Многие компьютерные программы перемножают числа, привязанные к данным. Это означает, что под самой поверхностью лежат простые числа. Когда человек совершает любые онлайн-покупки, он пользуется тем, что есть способы умножения чисел, которые сложно расшифровать хакеру, но легко покупателю. Это работает за счет того, что простые числа не имеют особенных характеристик — в противном случае злоумышленник мог бы получить данные банковской карты.

Простые числа

Простые числа — это целые натуральные (положительные) числа больше единицы, которые имеют ровно 2 натуральных делителя (только 1 и самого себя), т.е. не делится ни на одно другое число, кроме самого себя и единицы. Все остальные числа кроме единицы называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные.

Последовательность простых чисел начинается так (от 2 до 10000 их 1229):

2 3 5 7 11 13

17 19 23 29 31 37

41 43 47 53 59 61

67 71 73 79 83 89

97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151

157 163 167 173 179 181

191 193 197 199 211 223

227 229 233 239 241 251

257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317

331 337 347 349 353 359

367 373 379 383 389 397

401 409 419 421 431 433

439 443 449 457 461 463

467 479 487 491 499 503

509 521 523 541 547 557

563 569 571 577 587 593

599 601 607 613 617 619

631 641 643 647 653 659

661 673 677 683 691 701

709 719 727 733 739 743

751 757 761 769 773 787

797 809 811 821 823 827

829 839 853 857 859 863

877 881 883 887 907 911

919 929 937 941 947 953

967 971 977 983 991 997

1009 1013 1019 1021 1031 1033

1039 1049 1051 1061 1063 1069

1087 1091 1093 1097 1103 1109

1117 1123 1129 1151 1153 1163

1171 1181 1187 1193 1201 1213

1217 1223 1229 1231 1237 1249

1259 1277 1279 1283 1289 1291

1297 1301 1303 1307 1319 1321

1327 1361 1367 1373 1381 1399

1409 1423 1427 1429 1433 1439

1447 1451 1453 1459 1471 1481

1483 1487 1489 1493 1499 1511

1523 1531 1543 1549 1553 1559

1567 1571 1579 1583 1597 1601

1607 1609 1613 1619 1621 1627

1637 1657 1663 1667 1669 1693

1697 1699 1709 1721 1723 1733

1741 1747 1753 1759 1777 1783

1787 1789 1801 1811 1823 1831

1847 1861 1867 1871 1873 1877

1879 1889 1901 1907 1913 1931

1933 1949 1951 1973 1979 1987

1993 1997 1999 2003 2011 2017

2027 2029 2039 2053 2063 2069

2081 2083 2087 2089 2099 2111

2113 2129 2131 2137 2141 2143

2153 2161 2179 2203 2207 2213

2221 2237 2239 2243 2251 2267

2269 2273 2281 2287 2293 2297

2309 2311 2333 2339 2341 2347

2351 2357 2371 2377 2381 2383

2389 2393 2399 2411 2417 2423

2437 2441 2447 2459 2467 2473

2477 2503 2521 2531 2539 2543

2549 2551 2557 2579 2591 2593

2609 2617 2621 2633 2647 2657

2659 2663 2671 2677 2683 2687

2689 2693 2699 2707 2711 2713

2719 2729 2731 2741 2749 2753

2767 2777 2789 2791 2797 2801

2803 2819 2833 2837 2843 2851

2857 2861 2879 2887 2897 2903

2909 2917 2927 2939 2953 2957

2963 2969 2971 2999 3001 3011

3019 3023 3037 3041 3049 3061

3067 3079 3083 3089 3109 3119

3121 3137 3163 3167 3169 3181

3187 3191 3203 3209 3217 3221

3229 3251 3253 3257 3259 3271

3299 3301 3307 3313 3319 3323

3329 3331 3343 3347 3359 3361

3371 3373 3389 3391 3407 3413

3433 3449 3457 3461 3463 3467

3469 3491 3499 3511 3517 3527

3529 3533 3539 3541 3547 3557

3559 3571 3581 3583 3593 3607

3613 3617 3623 3631 3637 3643

3659 3671 3673 3677 3691 3697

3701 3709 3719 3727 3733 3739

3761 3767 3769 3779 3793 3797

3803 3821 3823 3833 3847 3851

3853 3863 3877 3881 3889 3907

3911 3917 3919 3923 3929 3931

3943 3947 3967 3989 4001 4003

4007 4013 4019 4021 4027 4049

4051 4057 4073 4079 4091 4093

4099 4111 4127 4129 4133 4139

4153 4157 4159 4177 4201 4211

4217 4219 4229 4231 4241 4243

4253 4259 4261 4271 4273 4283

4289 4297 4327 4337 4339 4349

4357 4363 4373 4391 4397 4409

4421 4423 4441 4447 4451 4457

4463 4481 4483 4493 4507 4513

4517 4519 4523 4547 4549 4561

4567 4583 4591 4597 4603 4621

4637 4639 4643 4649 4651 4657

4663 4673 4679 4691 4703 4721

4723 4729 4733 4751 4759 4783

4787 4789 4793 4799 4801 4813

4817 4831 4861 4871 4877 4889

4903 4909 4919 4931 4933 4937

4943 4951 4957 4967 4969 4973

4987 4993 4999 5003 5009 5011

5021 5023 5039 5051 5059 5077

5081 5087 5099 5101 5107 5113

5119 5147 5153 5167 5171 5179

5189 5197 5209 5227 5231 5233

5237 5261 5273 5279 5281 5297

5303 5309 5323 5333 5347 5351

5381 5387 5393 5399 5407 5413

5417 5419 5431 5437 5441 5443

5449 5471 5477 5479 5483 5501

5503 5507 5519 5521 5527 5531

5557 5563 5569 5573 5581 5591

5623 5639 5641 5647 5651 5653

5657 5659 5669 5683 5689 5693

5701 5711 5717 5737 5741 5743

5749 5779 5783 5791 5801 5807

5813 5821 5827 5839 5843 5849

5851 5857 5861 5867 5869 5879

5881 5897 5903 5923 5927 5939

5953 5981 5987 6007 6011 6029

6037 6043 6047 6053 6067 6073

6079 6089 6091 6101 6113 6121

6131 6133 6143 6151 6163 6173

6197 6199 6203 6211 6217 6221

6229 6247 6257 6263 6269 6271

6277 6287 6299 6301 6311 6317

6323 6329 6337 6343 6353 6359

6361 6367 6373 6379 6389 6397

6421 6427 6449 6451 6469 6473

6481 6491 6521 6529 6547 6551

6553 6563 6569 6571 6577 6581

6599 6607 6619 6637 6653 6659

6661 6673 6679 6689 6691 6701

6703 6709 6719 6733 6737 6761

6763 6779 6781 6791 6793 6803

6823 6827 6829 6833 6841 6857

6863 6869 6871 6883 6899 6907

6911 6917 6947 6949 6959 6961

6967 6971 6977 6983 6991 6997

7001 7013 7019 7027 7039 7043

7057 7069 7079 7103 7109 7121

7127 7129 7151 7159 7177 7187

7193 7207 7211 7213 7219 7229

7237 7243 7247 7253 7283 7297

7307 7309 7321 7331 7333 7349

7351 7369 7393 7411 7417 7433

7451 7457 7459 7477 7481 7487

7489 7499 7507 7517 7523 7529

7537 7541 7547 7549 7559 7561

7573 7577 7583 7589 7591 7603

7607 7621 7639 7643 7649 7669

7673 7681 7687 7691 7699 7703

7717 7723 7727 7741 7753 7757

7759 7789 7793 7817 7823 7829

7841 7853 7867 7873 7877 7879

7883 7901 7907 7919 7927 7933

7937 7949 7951 7963 7993 8009

8011 8017 8039 8053 8059 8069

8081 8087 8089 8093 8101 8111

8117 8123 8147 8161 8167 8171

8179 8191 8209 8219 8221 8231

8233 8237 8243 8263 8269 8273

8287 8291 8293 8297 8311 8317

8329 8353 8363 8369 8377 8387

8389 8419 8423 8429 8431 8443

8447 8461 8467 8501 8513 8521

8527 8537 8539 8543 8563 8573

8581 8597 8599 8609 8623 8627

8629 8641 8647 8663 8669 8677

8681 8689 8693 8699 8707 8713

8719 8731 8737 8741 8747 8753

8761 8779 8783 8803 8807 8819

8821 8831 8837 8839 8849 8861

8863 8867 8887 8893 8923 8929

8933 8941 8951 8963 8969 8971

8999 9001 9007 9011 9013 9029

9041 9043 9049 9059 9067 9091

9103 9109 9127 9133 9137 9151

9157 9161 9173 9181 9187 9199

9203 9209 9221 9227 9239 9241

9257 9277 9281 9283 9293 9311

9319 9323 9337 9341 9343 9349

9371 9377 9391 9397 9403 9413

9419 9421 9431 9433 9437 9439

9461 9463 9467 9473 9479 9491

9497 9511 9521 9533 9539 9547

9551 9587 9601 9613 9619 9623

9629 9631 9643 9649 9661 9677

9679 9689 9697 9719 9721 9733

9739 9743 9749 9767 9769 9781

9787 9791 9803 9811 9817 9829

9833 9839 9851 9857 9859 9871

9883 9887 9901 9907 9923 9929

9931 9941 9949 9967 9973

Простые числа - это... Что такое Простые числа?

Просто́е число́ — это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Последовательность простых чисел начинается с

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, … (последовательность A000040 в OEIS, см. также список простых чисел)

Разложение натуральных чисел в произведение простых

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы (1), представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа — элементарные «строительные блоки» натуральных чисел.

Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует (здесь и далее речь идёт о полиномиальной зависимости времени работы алгоритма от логарифма проверяемого числа, то есть от количества его цифр). На предполагаемой вычислительной сложности задачи факторизации базируется криптосистема

Тесты простоты

Решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина дают простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения.

Однако на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты. Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии. Только в 2002 году было доказано^[1], что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный алгоритм имеет довольно большую сложность, что затрудняет его практическое применение.

Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты. Например, для проверки на простоту чисел Мерсенна используется тест Люка — Лемера, а для проверки на простоту чисел Ферма — тест Пепина.

Сколько существует простых чисел?

Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма всех чисел, обратных к простым, расходится.

Известная теорема о распределении простых чисел утверждает, что количество простых чисел меньших n, обозначаемое π(n), растёт как n / ln(n).

Наибольшее известное простое

Наибольшим известным простым числом по состоянию на сентябрь 2008 года является 2^43112609 − 1. Оно содержит 12 978 189 десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M_43112609). Его нашли 23 августа 2008 года на математическом факультете университета UCLA в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна 37156667, было найдено 6 сентября 2007 года участником проекта нем. Hans-Michael Elvenich).

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.

За нахождение простого числа из более чем 10⁸ десятичных цифр EFF назначила^[2] награду в 150000 долларов США.

Некоторые свойства

Если p — простое, и p делит ab, то p делит a или b. Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно как лемма Евклида. Оно используется в доказательстве основной теоремы арифметики.
Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда n — простое.
Характеристика каждого поля — это ноль или простое число.
Если p — простое, а a — натуральное, то a^p - a делится на p (малая теорема Ферма).
Если G — конечная группа с pⁿ элементов, то G содержит элемент порядка p.
Если G — конечная группа, и pⁿ — максимальная степень p, которая делит | G | , то G имеет подгруппу порядка pⁿ, называемую силовской подгруппой, более того, количество силовских подгрупп равно pk + 1 для некоторого целого k (теоремы Силова).
Натуральное p > 1 является простым тогда и только тогда, когда (p - 1)! + 1 делится на p (теорема Вильсона).
Если n > 1 — натуральное, то существует простое p, такое, что n < p < 2n (постулат Бертрана).
Ряд чисел, обратных к простым, расходится. Более того, при

Любая арифметическая прогрессия вида a,a + q,a + 2q,a + 3q,..., где a,q > 1 — целые взаимно-простые числа, содержит бесконечно много простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).
Всякое простое число, большее 3, представимо в виде 6k + 1, или в виде 6k − 1, где k - некоторое натуральное число.
Если p > 3 — простое, то p² − 1 кратно 24.

Открытые вопросы

До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе^[3]:

Проблема Гольдбаха (первая проблема Ландау): доказать или опровергнуть, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел.
Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» — простых чисел, разность между которыми равна 2?
Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау) верно ли, что между n² и (n + 1)² всегда найдётся простое число?
Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида n² + 1?

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Фибоначчи, числа Ферма и т. д.

Приложения

Большие простые числа (порядка 10³⁰⁰) используются в криптографии с открытым ключом. Простые числа также используются в хеш-таблицах и для генерации псевдослучайных чисел (в частности, в ГПСЧ Вихрь Мерсенна).

Вариации и обобщения

Литература

См. также

Примечания

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

Просто про простые числа - Мастерок.жж.рф — LiveJournal

Простые числа делятся без остатка на единицу и на самих себя. Они - основа арифметики и всех натуральных чисел. То есть тех, которые возникают естественным образом при счете предметов, например, яблок. Любое натуральное число это произведение каких-нибудь простых чисел.

И тех и других - бесконечное множество.

Простые числа, кроме 2 и 5, заканчиваются на 1, на 3, на 7 или на 9. Считалось, что они распределены случайным образом. И за простым числом, оканчивающимся, к примеру, на 1 может с равной вероятностью - в 25 процентов - следовать простое число, которое оканчивается на 1, 3, 7, 9.
Простые числа — это целые числа больше единицы, которые не могут быть представлены как произведение двух меньших чисел. Таким образом, 6 — это не простое число, так как оно может быть представлено как произведение 2×3, а 5 — это простое число, потому что единственный способ представить его как произведение двух чисел — это 1×5 или 5×1. Если у вас есть несколько монет, но вы не можете расположить их все в форме прямоугольника, а можете только выстроить их в прямую линию, ваше число монет — это простое число.

В году 200 году до н.э. грек Эратосфен придумал алгоритм для поиска простых чисел под названием «Решето Эратосфена».

Открытия сделаные в начале 17-го века математиком Ферма, доказали гипотезу Альбера Жирара, что любое простое число вида 4n+1 можно записать уникальным образом в виде суммы двух квадратов, и также сформулировал теорему о том, что любое число можно представить в виде суммы четырёх квадратов.

В 1952 была доказана простота чисел M₅₂₁, M₆₀₇, M₁₂₇₉, M₂₂₀₃ и M₂₂₈₁.

К 2005 году найдено 42 простых чисел Мерсенна. Наибольшее из них, M_25964951, состоит из 7816230 цифр.

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

π(n) = n/(log(n) — 1.08366)

А Гаусс – как логарифмический интеграл

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

с промежутком интегрирования от 2 до n.

В теории простых чисел есть ещё множество нерешённых вопросов, некоторым из которых уже многие сотни лет:

гипотеза о простых числах-близнецах – о бесконечном количестве пар простых чисел, отличающихся друг от друга на 2

гипотеза Гольдбаха: любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел

бесконечно ли количество простых чисел вида n²+ 1 ?

всегда ли можно найти простое число между n²and (n + 1) ²? (факт, что между n и 2n всегда есть простое число, было доказан Чебышёвым)

бесконечно ли число простых чисел Ферма? есть ли вообще простые числа Ферма после 4-го?

существует ли арифметическая прогрессия из последовательных простых чисел для любой заданной длины? например, для длины 4: 251, 257, 263, 269. Максимальная из найденных длина равна 26.

бесконечно ли число наборов из трёх последовательных простых чисел в арифметической прогрессии?

n²— n + 41 – простое число для 0 ≤ n ≤ 40. Бесконечно ли количество таких простых чисел? Тот же вопрос для формулы n² — 79 n + 1601. Эти числа простые для 0 ≤ n ≤ 79.

бесконечно ли количество простых чисел вида n# + 1? (n# — результат перемножения всех простых чисел, меньших n)

бесконечно ли количество простых чисел вида n# -1 ?

бесконечно ли количество простых чисел вида n! + 1?

бесконечно ли количество простых чисел вида n! – 1?

если p – простое, всегда ли 2^p-1 не содержит среди множителей квадратов простых чисел

содержит ли последовательность Фибоначчи бесконечное количество простых чисел?

Некоторые считают, что простые числа не стоят глубокого изучения, но они имеют фундаментальное значение для математики. Каждое число может быть представлено уникальным способом в виде простых чисел, умноженных друг на друга. Это значит, что простые числа — это «атомы умножения», маленькие частички, из которых может быть построено что-то большое.

Так как простые числа — это строительные элементы целых чисел, которые получаются с помощью умножения, многие проблемы целых чисел могут быть сведены к проблемам простых чисел. Подобным образом некоторые задачи в химии могут быть решены с помощью атомного состава химических элементов, вовлеченных в систему. Таким образом, если бы существовало конечное число простых чисел, можно было бы просто проверить одно за другим на компьютере. Однако оказывается, что существует бесконечное множество простых чисел, которые на данный момент плохо понимают математики.

Один из способов нахождения простых чисел — это компьютерный поиск. Путем многократной проверки того, является ли число множителем 2, 3, 4 и так далее, можно легко определить, простое ли оно. Если оно не является множителем любого меньшего числа, оно простое. В действительности это очень трудоемкий способ выяснения того, является ли число простым. Однако существуют более эффективные пути это определить. Эффективность этих алгоритмов для каждого числа является результатом теоретического прорыва 2002 года.

Простых чисел достаточно много, поэтому если взять большое число и прибавить к нему единицу, то можно наткнуться на простое число. В действительности многие компьютерные программы полагаются на то, что простые числа не слишком трудно найти. Это значит, что, если вы наугад выберете число из 100 знаков, ваш компьютер найдет большее простое число за несколько секунд. Поскольку 100-значных простых чисел больше, чем атомов во Вселенной, то вполне вероятно, что никто не будет знать наверняка, что это число простое.

Как правило, математики не ищут отдельных простых чисел на компьютере, однако они очень заинтересованы в простых числах с особыми свойствами. Есть две известные проблемы: существует ли бесконечное количество простых чисел, которые на один больше, чем квадрат (например, это имеет значение в теории групп), и существует ли бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся друг от друга на 2.

Самое большое простое число, вычисленное проектом GIMPS [Great Internet Mersenne Prime Search], можно посмотреть в таблице на официальной странице проекта.

Самые большие близнецы среди простых чисел – это 2003663613 × 2195000 ± 1. Они состоят из 58711 цифр, и были найдены в 2007 году.

Наибольшее праймориальное простое число (число вида n# ± 1) – это 1098133# + 1.

Чтобы записать новое простое число, найденное математиками, потребовалась бы книга более, чем в 7 тысяч страниц. Оно – это небывало большое число – состоит из 23 249 425 цифр. Обнаружить его удалось благодаря проекту распределенных вычислений GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

Простые числа – это такие, которые делятся на единицу и на самих себя. И больше ни на что. Найденное ныне относится еще и к так называемым числам Мерсенна, которые имеют вид 2 в степени n минус 1. Выразить рекордное число можно как 2 в степени 77232917 минус 1. Оно стало 50 известным числом Мерсенна.

Простые числа используют в криптографии – для шифрования. Они стоят немалых денег. Например, в 2009 году за одно из простых чисел было выплачена премия в $100 тысяч.

Несмотря на то, что простые числа изучаются уже более трех тысячелетий и имеют простое описание, о простых числах до сих пор известно на удивление мало. Например, математики знают, что единственной парой простых чисел, отличающихся на единицу, являются 2 и 3. Однако неизвестно, существует ли бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся на 2. Предполагается, что существует, но это пока не доказано. Это проблема, которую можно объяснить ребенку школьного возраста, однако величайшие математические умы ломают над ней голову уже более 100 лет.

Многие из наиболее интересных вопросов о простых числах как с практической, так и с теоретической точки зрения заключаются в том, какое количество простых чисел имеет то или иное свойство. Ответ на самый простой вопрос — сколько есть простых чисел определенного размера — теоретически можно получить, решив гипотезу Римана. Дополнительный стимул доказать гипотезу Римана — приз размером в один миллион долларов, предложенный математическим институтом Клэя, равно как и почетное место среди самых выдающихся математиков всех времен.

Сейчас существуют неплохие способы предположить, каким будет правильный ответ на многие из этих вопросов. На данный момент догадки математиков проходят все численные эксперименты, и есть теоретические основания, чтобы на них полагаться. Однако для чистой математики и работы компьютерных алгоритмов чрезвычайно важно, чтобы эти догадки действительно были верными. Математики могут быть полностью удовлетворены, только имея неоспоримое доказательство.

Самым серьезным вызовом для практического применения является сложность нахождения всех простых множителей числа. Если взять число 15, можно быстро определить, что 15=5х3. Но если взять 1000-значное число, вычисление всех его простых множителей займет больше миллиарда лет даже у самого мощного суперкомпьютера в мире. Интернет-безопасность во многом зависит от сложности таких вычислений, потому для безопасности коммуникации важно знать, что кто-то не может просто взять и придумать быстрый способ найти простые множители.

Сейчас невозможно сказать, как простые числа будут использоваться в будущем. Чистая математика (например, изучение простых чисел) неоднократно находила способы применения, которые могли показаться совершенно невероятными, когда теория впервые разрабатывалась. Снова и снова идеи, воспринимавшиеся как чудной академический интерес, непригодный в реальном мире, оказывались на удивление полезными для науки и техники. Годфри Харольд Харди, известный математик начала XX столетия, утверждал, что простые числа не имеют реального применения. Сорок лет спустя был открыт потенциал простых чисел для компьютерной коммуникации, и сейчас они жизненно необходимы для повседневного использования интернета.

Поскольку простые числа лежат в основе проблем, касающихся целых чисел, а целые числа постоянно встречаются в реальной жизни, простым числам найдется повсеместное применение в мире будущего. Это особенно актуально, учитывая, как интернет проникает в жизнь, а технологии и компьютеры играют большую роль, чем когда-либо раньше.

Существует мнение, что определенные аспекты теории чисел и простых чисел выходят далеко за рамки науки и компьютеров. В музыке простые числа объясняют, почему некоторые сложные ритмические рисунки долго повторяются. Это порой используется в современной классической музыке для достижения специфического звукового эффекта. Последовательность Фибоначчи постоянно встречается в природе, и есть гипотеза о том, что цикады эволюционировали таким образом, чтобы находиться в спячке в течение простого числа лет для получения эволюционного преимущества.

Также предполагается, что передача простых чисел по радиоволнам была бы лучшим способом для попытки установления связи с инопланетными формами жизни, поскольку простые числа абсолютно независимы от любого представления о языке, но при этом достаточно сложны, чтобы их нельзя было спутать с результатом некоего в чистом виде физического природного процесса.

[источники]Источники:
https://habrahabr.ru/post/276037/
https://postnauka.ru/faq/66114

Простые числа 🔢 свойства, формула, последовательность простых и составных чисел, теория, таблица простых чисел до 1000 и до 10000, наибольшое и наименьшее число, примеры

Простые числа – это натуральные числа, их можно разделить только на два значения: единицу и себя. К натуральным относят те, которые используются во время счета, поэтому должно выполняться требование, чтобы они были положительными и целыми. Делители также не должны быть отрицательными и дробными.

Они широко применяются в криптографии, когда необходимо закодировать важную информацию от посторонних глаз. Шифрование касается каждого человека, так как используется в создании электронной почты, банковских карт. Даже мобильная связь защищается кодами.

Кроме того, используются на системах, защищающих транспортные средства от угонщиков, создают преграду для атак вирусов и взломов компьютерных сайтов. При попытке продолжить разложение простых чисел или определить закономерность появления, возникают новые способы математических расчетов.

Простые и составные числа - что это такое

Математика предлагает начинать знакомиться с данными понятиями в средней школе, в 5 или в 6 классе.

Проверка на принадлежность к определенному множеству достаточно простая:

Простые числа можно делить только на 1 и на такое же число. Например 3 и 7 — простые числа, 3 делится на 1 и на 3, 7 делится на 1 и на 7.
Составные числа можно делить не только на себя и единицу. При этом не должно получаться остатка. Они делятся на одно или несколько значений. Например, 8 и 6 относят к составным. Восьмерка делится на 1, 2, 4, 8; шестерка – на 1, 2, 3 и 6.

Определение простых чисел позволяет исключить из их ряда единицу. Она характеризуется наличием только одного делителя, не являющегося отрицательным значением. Получить ее можно, используя только один способ, умножив саму на себя.

Простые двузначные числа определяются по внешнему виду:

Если оканчиваются четной цифрой, то точно являются составными. То же касается и значений, имеющих больше двух знаков.
Если на конце находится цифра 5, то она входит в число делителей.

Такие простые способы помогают легко классифицировать многозначные показатели.

Некоторые двузначные вводят в заблуждение с первого взгляда, если оканчиваются на единицу. Кажется, что разложить на множители их невозможно. Но есть исключения, например: 21, 81. Чем дальше, тем больше отклонений от этой закономерности.

Последовательность простых чисел

Есть целые алгоритмы, помогающие получать новое, ранее неизвестное значение.

Существуют таблицы, в которых собраны найденные числа, имеющие не больше двух делителей, например, до 200, 1000 или больше.

Последовательность можно продолжать бесконечно, начинается она так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д.

Наименьшее и наибольшее простое число

Самым меньшим значением, делящимся на себя и 1, является 2. Это единственное простое значение, являющееся четным. Остальные всегда делятся на два, то есть получают третий делитель.

Простых чисел много и их количество стремится к бесконечности, потому узнать самое большое невозможно.

Нескончаемость ряда была доказана еще до нашей эры Евклидом. Он предложил перемножить все известные исследуемые значения и прибавить к ним единицу.

При его делении в любом случае будет оставаться остаток, то есть отнести к составным невозможно. Что противоречит тому факту, что были использованы все известные простые числа, в том числе и самое большое. Значит, предположение о конечности ряда является неверным.

В настоящее время известно значение, имеющее около 25 миллионов знаков. Оно относится к наибольшему из открытых наукой, это 2⁸²^{⁵⁸⁹^⁹³³}

Множество простых чисел

Множествами называются совокупности элементов, объединенных в одно целое общими свойствами.

Для изучаемых объектов к ним относятся:

Простые числа можно определить, используя решето Эратосфена. Нужно выписать в ряд все значения, с которыми предстоит работать. Выбрать самое маленькое и вычеркнуть его, затем продолжать действие, убирая кратные ему.

Например, в ряду от 1 до 100 первым таким объектом будет 2. Поэтому и вычеркивать нужно значения, кратные двойке, то есть те, которые делятся на нее.

По окончании из оставшихся выбрать новое простое, искать кратные ему и также убирать. Повторять, пока это представляется возможным.

В итоге, все составные окажутся зачеркнутыми.

Эратосфен использовал свое открытие следующим образом. Он брал папирус, записывал на нем необходимые значения, при отборе прокалывал неподходящие острым предметом (отсюда название «решето Эратосфена»). Поэтому они как будто просеивались через сито, и в списке оставались видимыми только необходимые.

Некоторые свойства простых чисел

Выделяют свойства, объединенные в теоремы, постулаты. Многие являются основой математических правил, используемых в настоящее время.

Изучением занимается теория чисел, при использовании формул простые числа обозначаются буквой n.

Известны следующие правила:

Если рассматривать два простых числа (n), одно из которых делится на другое, то можно утверждать, что они равны.
Все являются нечетными, за исключением двойки.
Можно выделить пары, разница между которым равна 2. При их сложении получается значение, кратное трем. Их так и называют парными или близнецами. Исключение составляют две первые цифры в ряду, 3 и 5, так как сумму, полученную при их сложении, нельзя разделить на 3.
Для каждого натурального значения (N), большего единицы, существует n, превышающее его. При этом удвоенное натуральное будет больше n.
Если одно из двух N делится на n, то их произведение также будет делиться на него.
Любое N, за исключением единицы, можно отнести к n или представить в виде их произведения.
Если взять составное число и разложить его на множители n, то среди них окажется один, квадрат которого будет меньше первоначального составного.
Некоторые n имеют пары, которые можно найти, перевернув n наоборот. Например, 13 и 31, 37 и 73. То же самое касается трехзначных n: 107 и 701, 709 и 907.
Если N возвести в степень, представленную n, а затем вычесть N, то полученное значение будет делиться на используемое n. Это правило представляет собой малую теорему Ферма.

Действия с простыми числами

Можно использовать разные арифметические действия, складывать, умножать, вычитать, делить. Простые числа могут являться основанием и показателем степени.

Извлечь корень из них невозможно.

Таблица простых чисел до 1000

Таблица простых числе до 10000

Взаимно простые числа — Википедия

В «лесу», составленном на координатной плоскости из точек с целочисленными координатами, из начала координат «видны» только «деревья» со взаимно простыми координатами.

Взаимно простые числа — целые числа, не имеющие никаких общих делителей, кроме ±1. Равносильное определение: целые числа взаимно просты, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1^[1].

Например, взаимно просты числа 14 и 25, так как у них нет общих делителей; но числа 15 и 25 не взаимно просты, так как у них имеется общий делитель 5.

Для указания взаимной простоты чисел m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} иногда используется обозначение m⊥n{\displaystyle m\perp n} (аналогия с перпендикулярными прямыми, не имеющими общих направлений — взаимно простые числа не имеют общих сомножителей^[2]).

Это понятие было введено в книге VII «Начал» Евклида. Для определения того, являются ли два числа взаимно простыми, можно использовать алгоритм Евклида.

Понятие взаимной простоты естественным образом обобщается на любые евклидовы кольца^[⇨].

Свойство взаимной простоты не только играет важную роль в теории чисел и коммутативной алгебре, но имеет ряд важных практических приложений, в частности, число зубьев на звёздочках и число звеньев цепи в цепной передаче стремятся делать взаимно простыми, что обеспечивает равномерность износа: каждый зуб звёздочки будет поочерёдно работать со всеми звеньями цепи.

Если в наборе целых чисел любые два числа взаимно просты, то такие числа называются попарно взаимно простыми (или просто попарно простыми^[3]). Для двух чисел понятия «взаимно простые» и «попарно простые» совпадают для более чем двух чисел свойство попарной простоты более сильно, чем ранее определённое свойство взаимной простоты (в совокупности) — попарно простые числа будут и взаимно простыми, но обратное неверно^[3]. Примеры:

8, 15 — не простые, но взаимно простые.
6, 8, 9 — взаимно простые (в совокупности) числа, но не попарно простые.
8, 15, 49 — попарно простые и взаимно простые (в совокупности).

Если числа a1,…,an{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} — попарно простые числа, то их наименьшее общее кратное равно абсолютному значению их произведения: |a1⋅…⋅an|{\displaystyle |a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}|}. Имеет также место для любого b{\displaystyle b} формула^[4]:

НОД(a1,a2,…,an,b)={\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b)=} НОД(a1,b){\displaystyle (a_{1},b)} НОД(a2,b)…{\displaystyle (a_{2},b)\dots } НОД(an,b){\displaystyle (a_{n},b)}

Все упомянутые в этом разделе числа подразумеваются целыми, если не оговорено иное.

Количество натуральных чисел, взаимно простых с натуральным числом n{\displaystyle n}, задаётся функцией Эйлера φ(n).

Числа a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют целые x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y} такие, что ax+by=1{\displaystyle ax+by=1} (соотношение Безу)^[1]. Если натуральные числа a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} взаимно просты, то числа 2a−1{\displaystyle 2^{a}-1} и 2b−1{\displaystyle 2^{b}-1} также взаимно просты, притом верно и обратное.

(Лемма Евклида) Если a{\displaystyle a} — делитель произведения bc{\displaystyle bc}, и a{\displaystyle a} взаимно просто с b{\displaystyle b}, то a{\displaystyle a} — делитель c{\displaystyle c}.

Если d={\displaystyle d=} НОД(a,b){\displaystyle (a,b)}, то числа ad{\displaystyle {\frac {a}{d}}} и bd{\displaystyle {\frac {b}{d}}} взаимно просты.

Дробь является несократимой тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель взаимно просты.

Если числа a{\displaystyle a} и m{\displaystyle m} взаимно просты, то сравнение:

ax≡b(modm).{\displaystyle ax\equiv b{\pmod {m}}.}

для любого b{\displaystyle b} имеет единственное решение^[5] по модулю m.{\displaystyle m.} В частности, решение сравнения для b=1{\displaystyle b=1} даёт обратный элемент для a{\displaystyle a} в кольце вычетов по модулю m.

Вероятность того, что любые k{\displaystyle k} случайным образом выбранных положительных целых чисел будут взаимно просты, равна 1ζ(k){\displaystyle {\dfrac {1}{\zeta (k)}}}, в том смысле, что при N→∞{\displaystyle N\to \infty } вероятность того, что k{\displaystyle k} положительных целых чисел, меньших, чем N{\displaystyle {\textstyle {N}}} (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к 1ζ(k){\displaystyle {\dfrac {1}{\zeta (k)}}}. Здесь ζ(k){\displaystyle \zeta (k)} — это дзета-функция Римана.

Понятия простого числа, наибольшего общего делителя и взаимно простых чисел естественно обобщаются на произвольные евклидовы кольца, например, на кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Обобщением понятия простого числа является «неприводимый элемент». Данное выше определение взаимно простых чисел не годится для произвольного евклидова кольца, поскольку в кольце могут быть делители единицы; в частности, НОД определяется с точностью до умножения на делитель единицы. Поэтому определение взаимно простых чисел следует модифицировать^[6].

Элементы евклидова кольца называются взаимно простыми, если множество их наибольших общих делителей содержит только делители единицы.

Равносильные формулировки^[6]:

Элементы евклидова кольца взаимно просты, если они не имеют никаких общих делителей, кроме делителей единицы.
(Соотношение Безу) Элементы a,b{\displaystyle a,b} евклидова кольца K{\displaystyle K}взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют элементы u,v∈K{\displaystyle u,v\in K} такие, что au+vb=1.{\displaystyle au+vb=1.}

Имеет также место лемма Евклида.

↑ ¹ ² Взаимно простые числа. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 690.
↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — С. 139. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
↑ ¹ ² Михелович, 1967, с. 28.
↑ Нестеренко Ю. В. Теория чисел. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — С. 40. — 272 с. — ISBN 9785769546464.
↑ Михелович, 1967, с. 64.
↑ ¹ ² Ларин С. В. Алгебра и теория чисел. Группы, кольца и поля: учеб. пособие для академического бакалавриата. — 2-е изд. — М.: Юрайт, 2018. — С. 92—93. — 160 с. — (Бакалавр. Академический курс). — ISBN 978-5-534-05567-2.

Вероятно простое число — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В теории чисел, вероятно простым числом (англ. probably prime, PRP) называется целое число, которое удовлетворяет некоторым условиям, которым удовлетворяют все простые числа. Различные типы вероятно простых имеют различные условия. Поскольку вероятно простое может быть составным (такие числа называются псевдопростыми), условие выбирается так, чтобы сделать эти исключения редкими.

Тест Ферма на простоту, основанный на малой теореме Ферма, работает следующим образом: для данного n, выберем некоторое a, такое, что a и n взаимно просты и вычислим a^{n - 1}по модулю n. Если результат отличается от 1, то n — составное. Если результат равен 1, n может быть простым, но не обязательно; n в этом случае называется (слабым) вероятно простым по основанию a.

Возможная простота является базисом для создания эффективных алгоритмов тестов простоты, которые находят применение в криптографии. Эти алгоритмы обычно являются стохастическими. Идея заключается в том, что пока имеются составные вероятно простые по основанию a для любого фиксированного a, мы можем надеяться, что существует некоторое P<1, такое, что для любого заданного составного n, если мы выберем a случайно, вероятность, что n псевдопросто по основанию a, не меньше P. Если мы повторим этот тест k раз, выбирая каждый раз новое число a, вероятность того, что n будет псевдопростым для всех проверенных a будет как минимум P^k. Поскольку эта вероятность уменьшается экспоненциально, требуется не очень большое k, чтобы сделать эту вероятность пренебрежительно малой (по сравнению, например, с вероятностью возникновения ошибки в процессоре).

К сожалению, это неверно для слабых вероятно простых чисел, поскольку существуют числа Кармайкла, но верно для более строгого отбора вероятно простых чисел, таких, как сильных вероятно простых чисел (P = 1/4, Тест Миллера — Рабина), или Вероятно простых Эйлера (P = 1/2, Тест Соловея — Штрассена).

Даже когда требуется детерминированный алгоритм проверки, полезным первым шагом будет тест вероятной простоты. Он может быстро исключить большую часть множителей.

PRP тест иногда комбинируется с таблицей малых псевдопростых для быстрого доказательства простоты числа, которое меньше некоторого порогового значения.

Вероятно простое Эйлера по основанию a — это целое число, выполняющее условия простоты, более сильные чем теорема: для любого простого p, a^{(p − 1)/2} равно (ap){\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})} по основанию p, где (ap){\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})} — символ Лежандра. Вероятно простые Эйлера, являющиеся составными, называются псевдопростыми числами Эйлера — Якоби по основанию a.

Этот тест может быть улучшен при использовании факта, что квадратный корень из 1 по простому основанию есть 1 и −1. Запишем n = d • 2^s + 1, где d нечетно. Число n есть сильное вероятно простое (SPRP) по основанию a если выполняется одно из условий:

ad≡1(modn),{\displaystyle a^{d}\equiv 1{\pmod {n}},\;}

ad⋅2r≡−1(modn) for some 0≤r≤s−1.{\displaystyle a^{d\cdot 2^{r}}\equiv -1{\pmod {n}}{\text{ for some }}0\leq r\leq s-1.}

Составное сильное вероятно простое число по основанию a называется сильно псевдопростым по основанию a. Каждое сильное вероятно простое число по основанию a является также вероятно простым Эйлера по тому же основанию, но не наоборот.

Как найти простые числа? :: SYL.ru

Числа бывают разными: натуральными, естественными, рациональными, целыми и дробными, положительными и отрицательными, комплексными и простыми, нечетными и четными, действительными и др. Из данной статьи можно узнать, что такое простые числа.

Какие числа называют английским словом “симпл”?

Очень часто школьники на один из самых несложных на первый взгляд вопросов математики, о том что такое простое число, не знают, как ответить. Они часто путают простые числа с натуральными (то есть числа, которые используются людьми при счете предметов, при этом в некоторых источниках они начинаются с нуля, а в других - с единицы). Но это совершенно два разных понятия. Простые числа - это, натуральные, то есть целые и положительные числа, которые большее единицы и которые имеют всего лишь 2 натуральных делителя. При этом один из этих делителей - это данное число, а второй – единица. Например, три - это простое число, поскольку он не делится без остатка ни на какое другое число, кроме себя самого и единицы.

Составные числа

Противоположностью простых чисел являются составные. Они также являются натуральным, также больше единицы, но имеют не два, а большее количество делителей. Так, например, числа 4, 6, 8, 9 и т. д. являются натуральными, составными, но не простыми числами. Как видите – это в основном четные числа, но не все. А вот “двойка” – четное число и “первый номер” в ряду простых чисел.

Последовательность

Чтобы построить ряд простых чисел, необходимо совершить отбор из всех натуральных чисел с учетом их определения, то есть нужно действовать методом от противного. Необходимо рассмотреть каждое из натуральных положительных чисел на предмет того, имеет ли оно более двух делителей. Давайте постараемся построить ряд (последовательность), который составляют простые числа. Список начинается с двух, следующим идет три, поскольку оно делится только на себя и на единицу. Рассмотрим число четыре. Имеет ли оно делители, кроме четырех и единицы? Да, это число 2. Значит, четыре не является простым числом. Пять также является простым (оно, кроме 1 и 5, ни на какое другое число не делится), а вот шесть – делится. И вообще, если проследить за всеми четными числами, то можно заметить, что кроме “двух”, ни одно из них не является простым. Отсюда сделаем вывод, что четные числа, кроме двух, не являются простыми. Еще одно открытие: все числа, делящиеся на три, кроме самой тройки, будь то четные или нечетные, также не являются простыми (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 и т.д.). То же самое касается и чисел, которые делятся на пять и на семь. Все их множество также не является простым. Давайте подведем итоги. Итак, к простым однозначным числам относятся все нечетные числа, кроме единицы и девятки, а из четных – только “два”. Сами десятки (10, 20,... 40 и др.) не являются простыми. Двузначные, трехзначные и т. д. простые числа можно определить, исходя из вышеизложенных принципов: если они не имеют других делителей, кроме их самих и единицы.

Теории о свойствах простых чисел

Существует наука, которая изучает свойства целых чисел, в том числе и простых. Это раздел математики, которая называется высшей. Помимо свойств целых чисел, она также занимается алгебраическими, трансцендентными числами, а также функциями различного происхождения, связанными с арифметикой этих чисел. В этих исследованиях, помимо элементарных и алгебраических методов, также используются аналитические и геометрические. Конкретно изучением простых чисел занимается “Теория чисел”.

Простые числа — “строительные блоки” натуральных чисел

В арифметике есть теорема, которая называется основной. Согласно ей, любое натуральное число, кроме единицы, можно представить в виде произведения, множителями которого являются простые числа, причем порядок следования множителей единственен, этот означает, что и способ представления единственен. Он называется разложением натурального числа на простые множители. Есть и другое название этого процесса – факторизация чисел. Исходя из этого, простые числа можно назвать “строительным материалом”, "блоками" для построения натуральных чисел.

Поиск простых чисел. Тесты простоты

Множество ученых разных времен пытались найти какие-то принципы (системы) для нахождения списка простых чисел. Науке известны системы, которые называются решето Аткина, решето Сундартама, решето Эратосфена. Однако они не дают каких-то существенных результатов, и для нахождения простых чисел используется простая проверка. Также математиками были созданы алгоритмы. Их принято называть тестами простоты. Например, существует тест, разработанный Рабином и Миллером. Его используют криптографы. Также существует тест Каяла-Агравала- Саскены. Однако он, несмотря на достаточную точность, очень сложен в вычислении, что принижает его прикладное значение.

Имеет ли множество простых чисел предел?

О том, что множество простых является бесконечностью, писал в книге “Начала” древнегреческий ученый Евклид. Он говорил так: “Давайте на минуту представим, что простые числа имеют предел. Тогда давайте перемножим их друг с другом, а к произведению прибавим единицу. Число, полученное в результате этих простых действий, не может делиться ни на одно из ряда простых чисел, потому что в остатке всегда будет единица. А это значит, что существует какое-то другое число, которое еще не включено в список простых чисел. Следовательно, наше допущение не верно, и это множество не может иметь предела. Помимо доказательства Евклида, существует более современная формула, данная швейцарским математиком восемнадцатого века Леонардом Эйлером. Согласно ему, сумма, обратная сумме первых n чисел растет неограниченно с ростом числа n. А вот формула теоремы относительно распределения простых чисел: (n) растёт, как n/ln (n).

Какое наибольшее простое число?

Все тот же Леонард Эйлер смог найти самое большое для своего времени простое число. Это 2³¹– 1 = 2147483647. Однако к 2013 году было вычислено другое наиболее точное самое большое в списке простых чисел – 2^57885161– 1. Его называют числом Мерсенна. Оно содержит около 17 миллионов десятичных цифр. Как видите, число, найденное ученым из восемнадцатого века, в несколько раз меньше этого. Так и должно было быть, ведь Эйлер вел данный подсчет вручную, нашему же современнику наверняка помогала вычислительная машина. Более того, это число было получено на факультете математики в одном из американских факультетов. Числа, названные в честь этого ученого, проходят через тест простоты Люка-Лемера. Однако наука не желает останавливаться на достигнутом. Фонд Электронных рубежей, который был основан в 1990 году в Соединенных Штатах Америки (EFF), назначил за нахождение больших простых чисел денежную награду. И если до 2013 года приз полагался тем ученным, которые найдут их из числа 1 и 10 миллионов десятичных чисел, то сегодня это цифра достигла от 100 миллионов до 1 миллиарда. Размер призов составляет от 150 до 250 тысяч долларов США.

Названия специальных простых чисел

Те числа, которые были найдены благодаря алгоритмам, созданным теми или иными учеными, и прошли тест простоты, называются специальными. Вот некоторые из них:

1. Мерссена.

2. Вудаа.

3. Ферма.

4. Каллена.

5. Прота.

6. Миллса и др.

Простота этих чисел, названных в честь вышеперечисленных ученых, устанавливается с использованием следующих тестов:

1. Люка-Лемера.

2. Пепина.

3. Ризеля.

4. Биллхарта – Лемера – Селфриджа и др.

Современная наука не останавливается на достигнутом, и, вероятно, в ближайшем будущем мир узнает имена тех, кто смог получить приз в 250.000 долларов, найдя наибольшее простое число.

Почему единицу не относят к простым числам, и когда её вообще начали считать числом

Мой друг инженер недавно меня удивил. Он сказал, что не уверен, является число 1 простым или нет. Я удивилась, потому что никто из математиков не считает единицу простым.

Путаница начинается с определения, которое дают простому числу: это положительное целое число, которое делится только на 1 и само на себя. Число 1 делится на 1, и оно делится само на себя. Но деление на себя и на 1 здесь не является двумя различными факторами. Так простое число это или нет? Когда я пишу определение простого числа, то пытаюсь устранить эту двусмысленность: я прямо говорю о необходимости ровно двух различных условий, деление на 1 и само на себя, или что простое число должно быть целым числом больше 1. Но зачем идти на такие меры, чтобы исключить 1?

Моё математическое образование научило меня, что хорошей причиной того, почему 1 не считается простым, является основная теорема арифметики. Она утверждает, что каждое число может быть записано как произведение простых чисел ровно одним способом. Если бы 1 было простым, мы бы потеряли эту уникальность. Мы могли бы записать 2 как 1×2, или 1×1×2, или 1⁵⁹⁴⁸²⁷×2. Исключение 1 из простых чисел устраняет это.

Изначально я планировала в статье объяснить основную теорему арифметики и покончить с этим. Но на самом деле не так сложно изменить формулировку теоремы для решения проблемы с единицей. В конце концов, вопрос моего друга разжёг моё любопытство: как математики остановились на этом определении простого числа? Беглый поиск по Википедии показал, что единица раньше считалась простым числом, а сейчас нет. Но статья Криса Колдуэлла и Енг Сюна демонстрирует немного более сложную историю. Это можно понять с самого начала их статьи: «Во-первых, является ли число (особенно единица) простым — это вопрос определения, то есть вопрос выбора, контекста и традиции, а не вопрос доказательства. Тем не менее, определения не возникают случайным образом; выбор связан с нашим использованием математики и, особенно в этом случае, нашей нотацией».

Колдуэлл и Сюн начинают с классических греческих математиков. Они не считали 1 числом так же, как 2, 3, 4 и так далее. 1 считалась цифрой, а число состояло из нескольких цифр. По этой причине 1 не могла быть простым — это даже не число. Арабский математик IX века аль-Кинди писал, что это не число и, следовательно, не является чётным или нечётным. В течение многих веков преобладало представление, что единица — это строительный блок для составления всех чисел, но не само число.

В 1585 году фламандский математик Саймон Стевин указал, что в десятичной системе нет никакой разницы между 1 и любыми другими числами. Во всех отношениях 1 ведёт себя как любая другая величина. Хотя и не сразу, но это наблюдение в конечном итоге привело математиков к принятию 1 как любого другого числа.

До конца XIX века некоторые выдающиеся математики считали 1 простым, а некоторые нет. Насколько я могу судить, это не было причиной разногласий; для самых популярных математических вопросов различие не являлось критически важным. Колдуэлл и Сюн цитируют Г. Х. Харди как последнего крупного математика, считающего 1 простым (он явно указал его в качестве простого числа в первых шести изданиях «Курса чистой математики», опубликованных между 1908 и 1933 годами, а в 1938 году изменил определение и назвал 2 наименьшим простым).

В статье упоминаются, но не разбираются подробно изменения в математике, из-за которых 1 исключили из списка простых чисел. В частности, одним из важных изменений стала разработка множеств за пределами множества целых чисел, которые ведут себя как целые.

В самом простом примере мы можем спросить, является ли число -2 простым. Вопрос может показаться бессмысленным, но он побуждает нас выразить словами уникальную роль единицы среди целых чисел. Самым необычным аспектом 1 является то, что его обратное значение тоже является целым числом (обратное значение x — это число, которое при умножении на x даёт 1. У числа 2 обратное значение 1/2 входит в множество рациональных или действительных чисел, но не является целым: 1/2×2=1). Число 1 оказалось собственным обратным числом. Ни у какого другого положительного целого числа нет обратного значения в множестве целых чисел. Число с обратным значением называется обратимым элементом. Число −1 тоже является обратимым элементом в наборе целых чисел: опять же, оно обратимый элемент само для себя. Мы не рассматриваем обратимые элементы как простые или составные, потому что вы можете умножить их на некоторые другие обратимые элементы без особых изменений. Тогда мы можем считать, что число -2 не так уж отличается от 2; с точки зрения умножения. Если 2 является простым, то и −2 должно быть таким же.

Я старательно избегала в предыдущем абзаце определения простого из-за неудачного факта, что для этих больших множеств такое определение не подходит! То есть оно немного нелогично, и я бы выбрала другое. Для положительных целых чисел у каждого простого числа p два свойства:

Его нельзя записать как произведение двух целых чисел, ни одно из которых не является обратимым элементом.

Если произведение m×n делится на p, то m или n должны быть делимы на p (для примера, m=10, n=6, а p=3.)

Первое из этих свойств — то, как мы могли бы охарактеризовать простые числа, но, к сожалению, тут получается неприводимый элемент. Второе свойство — это простой элемент. В случае натуральных чисел, конечно, одни и те же числа удовлетворяют обоим свойствам. Но это не относится к каждому интересному набору чисел.

В качестве примера рассмотрим множество чисел вида a+b√−5 или a+ib√5, где a и b — целые числа, а i — квадратный корень из −1. Если вы умножите числа 1+√−5 и 1-√−5, то получите 6. Конечно, вы также получите 6, если умножите 2 и 3, которые тоже находятся в этом множестве чисел при b=0. Каждое из чисел 2, 3, 1+√−5, и 1−√−5 нельзя представить как произведение чисел, которые не являются обратимыми элементами (если не верите мне на слово, это не слишком трудно проверить). Но произведение (1+√−5)(1−√−5) делится на 2, а 2 не делится ни на 1+√−5, ни на 1−√−5 (опять же, можете проверить, если не верите мне). Таким образом, 2 является неприводимым элементом, но не простым. В этом наборе чисел 6 можно разложить на неприводимые элементы двумя различными способами.

Приведённое выше число, которое математики могут назвать Z[√-5], содержит два обратимых элемента: 1 и −1. Но есть аналогичные множества чисел с бесконечным количеством обратимых элементов. Поскольку такие множества стали объектами изучения, есть смысл чётко разграничить определения обратимого, неприводимого и простого элементов. В частности, если есть множества чисел с бесконечным числом обратимых элементов, становится всё труднее понять, что мы подразумеваем под уникальной факторизацией чисел, если не уточнить, что обратимые элементы не могут быть простыми. Хотя я не историк математики и не занимаюсь теорией чисел и хотела бы прочитать больше, как именно происходил этот процесс, но я думаю, что это одна из причин, которые Колдуэлл и Сюн считают причиной исключения 1 из простых чисел.

Как это часто бывает, мой первоначальный аккуратный и лаконичный ответ на вопрос, почему всё устроено так, как есть, в конечном итоге стал только частью проблемы. Спасибо моему другу за то, что задал вопрос и помог мне узнать больше о сложной истории простоты.

Уникальное простое — Википедия

Длина периода	Простое
1	3
2	11
3	37
4	101
10	9,091
12	9,901
9	333,667
14	909,091
24	99,990,001
36	999,999,000,001
48	9,999,999,900,000,001
38	909,090,909,090,909,091
19	1,111,111,111,111,111,111
23	11,111,111,111,111,111,111,111
39	900,900,900,900,990,990,990,991
62	909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
120	100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001
150	10,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001
106	9,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
93	900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991
134	909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
294	142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143
196	999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001