Самый сложный пример в мире по математике с ответами
Математики решили самую сложную задачу в мире
Одна из самых сложных математических загадок в мире поддалась математикам Эндрю Сазерленду из США и Эндрю Букеру из Бристольского университета в Британии. Они вычислили три числа, сумма кубов которых будет равна 42. На расчеты понадобился миллион часов машинного времени.
Задача, поставленная еще в 1954 году, выражена следующим уравнением: x³ + y³ + z³ = k. K — каждое из чисел от 1 до 100. Требовалось найти x, y и z.
Греф признался в ненависти к школе и экзаменам
ПодробнееВ течение десятков лет математики искали решения для целых чисел от единицы до 100. Ученым удалось найти значения для всех чисел, кроме 33 и 42. Задачу 33 в итоге решили — это сделал британец Эндрю Букер, который написал новый алгоритм вычислений и прогнал решение через мощный компьютер. Решение было найдено за три недели. Оставалось число 42.
Букер решил заручиться поддержкой своего заокеанского коллеги Эндрю Сазерленда, уточнил сайт Science Alert. Для решения задачи ученые решили использовать сеть Charity Engine, которая объединяет более полумиллиона персональных компьютеров по всему миру в глобальную вычислительную сеть.
На решение задачи потребовалось более миллиона часов машинного времени. В итоге планетарный разум выдал три числа. Целиком уравнение выглядит так: (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³ = 42.
70человек поделились статьей
Задачи современной математики, которые до сих пор не решены
Как и всегда в математике, если проблема не решается «в лоб», к ней подходят с другого конца. Например, в 2013 году было доказано, что количество простых чисел, отличающихся на 70 миллионов, бесконечно. Тогда же, с разницей менее чем в месяц, значение разницы было улучшено до 59 470 640, а затем и вовсе на порядок — до 4 982 086. На данный момент существуют теоретические обоснования бесконечности пар простых чисел с разницей в 12 и 6, однако доказанной является лишь разность в 246. Как и прочие проблемы такого рода, гипотеза о числах-близнецах особенно важна для криптографии.
Гипотеза Римана
Если кратко, то Бернхард Риман предположил, что распределение простых чисел по множеству всех натуральных чисел не подчиняется каким-либо законам. Но их количество на заданном участке числового ряда коррелирует с распределением определенных значений на графике дзета-функции. Она расположена выше и для каждого s дает бесконечное количество слагаемых. Например, когда в качестве s подставляется 2, то в результате получается уже решенная “базельская задача” — ряд обратных квадратов (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …).
Одна из “проблем тысячелетия», за решение которой назначен приз в миллион долларов, а также вхождение в пантеон “богов» современной математики. На деле, доказательство этой гипотезы настолько сильно толкнет вперед теорию чисел, что это событие по праву будет называться историческим. Многие вычисления и утверждения в математике строятся на предположении о том, что “гипотеза Римана» верна, и до сих пор никого не подводили. Немецкий математик сформулировал знаменитую задачу 160 лет назад, и с тех пор к ее решению подступались неисчислимое количество раз, однако прогресс очень скромен.
Реально сложные задачи
В отличие от предыдущей задачи, здесь решение намного сложнее, потому что в голове нужно держать одновременно 2-3 условия, которыми надо проверять числа. Но мы справимся.
Для решения нам понадобится вспомнить, что такое простые числа и в чём их особенность. Простое число — то, которое может делиться нацело только на себя и на единицу. Например, число 5 — простое, потому что делится только на 5 и на 1. А число 6 — не простое, потому что кроме 6 и 1 оно ещё делится на 2 и 3 без остатка. Семь тоже будет простым числом, а восемь — нет, потому что кроме 8 и 1 оно делится также на 2 и 4.
Если перемножить два простых числа, то полученное произведение больше никак нельзя получить другим способом (кроме умножения этого же числа на единицу). Поясним на примере.
Возьмём два простых числа 5 и 7 и перемножим их — получится 35. Больше число 35 получить никак не получится, кроме как умножить 35 на 1. Это значит, что если произведение можно разложить на два простых множителя, то других вариантов разложения (кроме числа и единицы) у него не будет. Это нам пригодится при решении задач — и если число можно разложить на 2 простых, то и их сумму тоже легко сразу посчитать.
Ещё пример:
54 = 2 × 27
54 = 3 × 18
54 = 6 × 9, а это значит, что число 54 нельзя получить перемножением двух простых чисел и нельзя сразу сказать, чему однозначно равна сумма множителей.
И ещё:
21 = 3 × 7
Оба числа простые, поэтому произведение 21 можно получить только из них, а значит, легко посчитать сумму — она будет равна 3 + 7 = 10.
Теперь переведём их диалог на язык математики и логики и обозначим числа как n и m:
Первый: Я понял, что одно из чисел точно не простое, потому что иначе я сразу бы разложил число на произведение двух простых и легко получил сумму. А раз так, то это одно из чисел m или n можно получить перемножением двух других чисел. Поэтому общее произведение состоит не менее чем из трёх множителей, причём как минимум один из них отличается от остальных — поэтому получается несколько вариантов возможных сумм, и я не знаю, какая из них правильная (пометим это как Правило 1).
Второй: Сумму, которая у меня есть, нельзя получить из двух простых чисел, поэтому и твоё произведение тоже нельзя разложить на два простых множителя. Это значит, что у меня нечётная сумма, потому что, по гипотезе Гольдбаха, в нашем случае можно получить любое чётное число, сложив два простых. А раз это не два простых числа, значит, и сумма будет нечётная. А ещё эта сумма точно не равна сумме двух и простого числа, потому что два — тоже простое, ха! Поэтому есть несколько вариантов суммы m и n, которые подходят под твои условия, но я не могу пока определить, какие именно (пометим это как Правило 2).
Первый: Из всех множителей моего произведения я могу составить только один вариант пары, сумма которой подойдёт под твоё ограничение — не будет разбиваться на сумму двух простых или сумму чисел одного множителя (Правило 3).
Второй: Ах вот как! Из всех вариантов пар, на которые можно разбить сумму и подходящих под твои условия, есть только одна, которая позволила бы тебе определить это (Правило 4). Теперь и мне понятно, что это за числа!
Теперь подберём варианты суммы, которая была у второго. Ограничения такие:
- нечётная;
- не равна сумме двойки и простого числа.
1 — не подходит, потому что оба числа больше единицы.
2, 4, 6, 8… — нет, потому что чётные.
3 — нет, потому что это сумма двойки и простого числа.
5 — нет, по той же причине (2 + 3).
7 — тоже нет (2 + 5).
9 — тоже нет (2 + 7, а 7 — простое число).
11 — подходит.
13 — нет, потому что 13 = 2 + 11 (11 — простое число).
15 — нет, потому что 15 = 2 + 13 (13 — тоже простое число).
17 — подходит.
19 — нет, потому что 19 = 2 + 17 (17 — простое число).
…
Способ подбора суммы понятен, дальше можно продолжать по тому же алгоритму. Мы же выберем те, которые нам уже подошли, и на их примере покажем, что нужно делать дальше, чтобы получить правильный ответ. Наши числа, которые нам подходят уже сейчас: 11 и 17. Начнём с 11.
Сумма = 11.
Найдём все слагаемые, которые могут давать эту сумму:
2 + 9
3 + 8
4 + 7
5 + 6
Для каждого из них запишем произведение и проверим, выполняется ли Правило 3, которое сказал первый программист.
Смотрим на произведение 2 × 9 = 18 и как ещё его можно получить.
18 = 2 × 9 → Да (Правило 3 выполняется).
18 = 3 × 6 → Нет (Правило 3 не работает, потому что 3 + 6 = 9, а 9 можно получить из простых чисел 2 и 7).
Смотрим на произведение 3 × 8 = 24.
24 = 2 × 12 → Нет (чётная сумма, Правило 2 не работает).
24 = 3 × 8 → Да (выполняется Правило 3).
24 = 6 × 4 → Нет (чётная сумма).
Смотрим на произведение 4 × 7 = 28.
28 = 2 × 14 → Нет (чётная сумма).
28 = 4 × 7 → Да (выполняется Правило 3).
Смотрим на произведение 5 × 6 = 30.
30 = 2 × 15 → Да.
30 = 3 × 10 → Нет (Правило 3 не работает, потому что 3 + 10 = 13, а 13 можно получить суммой простых чисел 2 и 11).
30 = 5 × 6 → Да.
Тут мы вообще не можем выбрать одну пару, потому что Правило 3 выполняется 2 раза, а значит, этот вариант отбрасываем.
Получается, что для суммы 11 могут быть три варианта произведений, для которых выполняется Правило 3: 2 и 9, 3 и 8, 4 и 7. Но тогда Правило 4 не выполняется, потому что нужно, чтобы для одной суммы была только одна пара, которая подходит под правило 3. Продолжаем искать.
Сумма = 17.
Найдём все слагаемые, которые могут давать эту сумму:
2 + 15
3 + 14
4 + 13
5 + 12
6 + 11
7 + 10
8 + 9
Для каждого из них запишем произведение и проверим, выполняется ли Правило 3, которое сказал первый программист.
Смотрим на произведение 2 × 15 = 30 и как ещё его можно получить.
30 = 2 × 15 → Да.
30 = 3 × 10 → Нет (Правило 3 не работает, потому что 3 + 10 = 13, а 13 можно получить суммой простых чисел 2 и 11).
30 = 5 × 6 → Да.
Тут мы вообще не можем выбрать одну пару, потому что Правило 3 выполняется 2 раза, а значит, этот вариант отбрасываем.
Смотрим на произведение 3 × 14 = 42 и как ещё его можно получить:
42 = 2 × 21 → Да.
42 = 3 × 14 → Да.
42 = 6 × 7 → Нет.
Два раза выполняется Правило 3 — отбрасываем пару.
Смотрим на произведение 4 × 13 = 52 и как ещё его можно получить.
52 = 2 × 26 → Нет.
52 = 4 × 13 → Да.
Смотрим на произведение 5 × 12 = 60 и как ещё его можно получить.
60 = 2 × 30 → Нет.
60 = 3 × 20 → Да.
60 = 5 × 12 → Да.
60 = 6 × 10 → Нет.
Два раза выполняется Правило 3 — отбрасываем пару.
Смотрим на произведение 6 × 11 = 66 и как ещё его можно получить.
66 = 2 × 33 → Да.
66 = 3 × 22 → Нет.
66 = 6 × 11 → Да.
Два раза выполняется Правило 3 — отбрасываем пару.
Смотрим на произведение 7 × 10 = 70 и как ещё его можно получить.
70 = 2 × 35 → Да.
70 = 5 × 14 → Нет.
70 = 7 × 10 → Да.
Два раза выполняется Правило 3 — отбрасываем пару.
Смотрим на произведение 8 × 9 = 72 и как ещё его можно получить.
72 = 2 × 36 → Нет.
72 = 3 × 24 → Да.
72 = 4 × 18 → Нет.
72 = 6 × 12 → Нет.
72 = 8 × 9 → Да.
Два раза выполняется Правило 3 — отбрасываем пару.
Получается, что для суммы 17 может быть только один вариант произведения, для которого выполняется Правило 3: это 4 и 13. А значит, что Правило 4 тоже выполняется и мы нашли нужные числа!
Если вы дочитали досюда и всё поняли — снимаем шляпу. Вы не из тех, кого могут испугать вычисления и логический подход!
7 самых сложных логических задач, которые решит только один человек из десяти
7 самых сложных логических задач, которые решит только один человек из десяти
В связи с началом учебного года мы решили проверить, насколько наши подписчики умны и изобретательны. А ты сможешь решить все, представленные нами, задачи?
«ПОСЧИТАЙ-КА»
Давай проверим, умеешь ли ты считать?
Реши без помощи калькулятора вот этот пример: К 1000 нужно прибавить 40, потом еще 1000. Затем приплюсуйте 30. Есть? Теперь снова 1000. Добавьте 20. Еще раз 1000. И напоследок 10.
Сколько получилось?
А теперь проверь все еще раз с помощью своего телефона. Совпало?
«ЧТО БОДРИТ УТРОМ?»
А теперь задачка на логику.
Женщина уронила в стакан, полный кофе, свой перстень. Как он мог остаться сухим?
Как ты думаешь, в чем тут секрет?
«СПИЧКИ ДЕТЯМ НЕ ИГРУШКА»
Сколько спичек на картинке?
«ЗЕЛЕНЫЙ ЧЕЛОВЕЧЕК»
Это та загадка, которую ты решишь с помощью детской наивностью. Мы уверены, её можно отгадать с первого раза! Ответь на вопрос: что нужно сделать, когда видишь зеленого человечка?
Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: «Сколько здесь кружков?». «Семь» — отвечает ученик. «Правильно. Так сколько здесь кружков?» — опять спрашивает учитель другого ученика. «Пять» — отвечает тот. «Правильно» — снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?
Думаешь все так легко? А теперь попробуй решить задачи, которые считаются самыми сложными в мире!
«СУПЕР СУДОКУ»
Первое, над чем мы предлагаем тебе поломать голову – это самая сложная судоку в мире.
Судоку – это японская головоломка с числами. Принцип ее совсем не замысловат. Но ту, которую предложили тебе мы, сможет решить точно не каждый!
«БОГИ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ»
Есть три бога, A, B, и C, один из которых бог истины, другой бог лжи и третий бог случая, причём неясно, кто из них кто. Бог истины всегда говорит правду, бог лжи обманывает, а бог случая может сказать и то, и другое в произвольном порядке. Необходимо определить, кем является каждый из богов, задав три вопроса, на которые можно ответить «да» или «нет», при этом каждый вопрос задаётся только одному богу. Боги понимают вопросы, но отвечают на своём языке, в котором есть слова «da» и «ja», но неизвестно, какое слово обозначает «да», а какое «нет».
Эта логическая задача за авторством американского философа и логика Джорджа Булоса была впервые опубликована в итальянской газете «la Repubblica» в 1992-м году. Так же в загадке есть комментарии создателей:
– Можно задавать одному богу более чем один вопрос (поэтому другим богам может быть не задано ни одного вопроса вообще).
– Каков будет следующий вопрос и кому он будет задан, может зависеть от ответа на предыдущий вопрос.
– Бог случая отвечает случайным образом, зависящим от подбрасываний монетки, спрятанной в его голове: если выпадет аверс, то отвечает правдиво, если реверс — то врёт.
– Бог случая отвечает «da» или «ja» на любой вопрос, на который можно ответить «да» либо «нет».
Ответы на все задачи можно посмотреть по ссылке.
Found a typo in the text? Select it and press ctrl + enter
Более сложные примеры уравнений | Математика
52. Более сложные примеры уравнений.
Пример 1.
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x2 – 1)
Общий знаменатель есть x2 – 1, так как x2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x2 – 1. Получим:
или, после сокращения,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
или
5x + 5 – 3x + 3 = 15
или
2x = 7 и x = 3½
Рассмотрим еще уравнение:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x2 – 1)
Решая, как выше, получим:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.
Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.
Для первого примера получим:
Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.
Для второго примера получим:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0
Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.
Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.
Пример 2.
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
или
2x2 + 6x – 2x – 6 = 2x2 + 3x – 2x – 3.
Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x2. Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x2 — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x2 уничтожатся, и мы получим:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:
3x = 3 или x = 1
Вспоминая данное уравнение
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.
Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:
2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,
что невозможно.
Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:
6x + 10 = 2x + 18
или
4x = 8 и x = 2
Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:
или 11 = 11
Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x2 + 4x – 10 = 2x2 + 16x – 18.
Здесь уже члены с x2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы
4x2 – 12x = –8
или
x2 – 3x = –2
Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:
1) 22 – 3 · 2 = –2 и 2) 12 – 3 · 1 = –2
Если мы вспомним начальное уравнение
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.
Пример 3.
Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:
1) x2 – 5x + 6 = x2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x2 – x – 2 = x2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x2 – 2x – 3 = x2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).
Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:
на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
Отсюда получим:
–x = –13 и x = 13.
Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.
Если бы мы взяли уравнение:
то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
или
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
или
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
откуда получили бы
0 = –11,
что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.
Примеры по математике для любого класса. Решение примеров онлайн. | Клуб любителей математики
Тренажер примеров по математике разного уровня сложности для любого класса поможет развить математичесике способности устного счета.
На своем жизненном пути каждому приходилось или придется встретиться с такой прекрасной и точной наукой как Математика. Она развивает логическое и абстрактное мышление, улучшает способность быстро соображать и принимать решения. На основе именно этой науки строится описание нашего мира.
С чего начинается математика?
Базовой составляющей математики является раздел Арифметика – операции подсчета, измерения и описания форм объектов. Это базис, на который опираются знания о структуре, порядке и отношениях. Именно они составляют суть науки. Школьная программа начинается с Арифметики, которую и предстоит освоить каждому ребенку, переступившему порог школы.
Поняв принцип математических операций, необходимо научиться быстро и безошибочно решать любые примеры по математике. И тут все упирается в терпение и регулярную практику, в следствие которой подсчитывать ответ становится все легче и легче.
Виды примеров по математике:
- С натуральными числами
- С дробными числами
- С отрицательными числами
- С иррациональными числами
- С тригонометрическими выражениями
Так же в математических примерах можно встретить комплексные числа. Роль каждых из чисел очень велика при решении и описании разных проблем с помощью математики. В дальнейшем в разделе Алгебра вместо чисел будут использоваться разнообразные выражения, но суть останется прежняя.
С чего начать тренировку в решении примеров по математике ?
Конечно, начинать надо с самого простого и банального, с того что является самой основой. Обычные примеры начальной школы с натуральными числами. На их изучение и практику в школе уделяют большое количество времени, и дети на протяжении нескольких месяцев или лет, занимаются решением примеров, списывая задание с доски, открывая учебник или рабочую тетрадь, где один за одним решают примеры.
Предлагаем вам упрощенный способ развития навыков решения.
Онлайн тренажер устного счета192 разнообразных режима тренировок: Уравнения, сравнения, отрицательные числа |
С помощью специального онлайн «Тренажера устного счета», где можно быстро и легко практиковаться в решении простых арифметических примеров.
Приложение позволяет быстро анализировать и исправлять допущенные ошибки, помогает с ответом при наличии сложного примера, а также ведет полную статистику выполненной работы. Родителям не придется тратить свое время на поиск математических примеров для тренировки ребенка, а потом долго и скрупулезно проверять их вручную.
В свою очередь дети сосредотачиваются на решении примера и не тратят время на поиск его среди массы похожих примеров на страницах учебников, не отвлекаются на переписывание его из учебника в тетрадь, проверяя по десять раз верность переписанного. Все это существенно ускоряет процесс обучения, уделяя внимание именно самому главному – решению самих примеров по математике!
Зачем нужен навык решения примеров по математике?
Несомненно, не всем в жизни нужно быть живым компьютером с развитым навыком устного счета. Однако очень часто происходят ситуации, когда этот навык выручает. Ведь в современном мире, где всё вокруг строится на основе математических законов, иметь такой приятный для себя бонус как хорошее умение быстро что-либо просчитывать очень круто! Никогда не знаешь на перед что и когда тебе понадобится, так почему бы не уделить немного времени этому сейчас, чтобы по жизни не попадать в неловкие ситуации, к тому же научиться этому делу довольно легко!
Очень многие ошибочно полагают, что стоит начинать учиться только тогда, когда они столкнуться с этими проблемами и это будет необходимым по жизни. Однако наш совет: освоить базовые навыки решения математических примеров и устного счета стоит как можно раньше, пока ум молод, свеж и гибок в плане обучения, а человек не занят взрослыми надоедливыми делами.
Научно доказано, если регулярно решать арифметические примеры, то:
- Сохраняется ясность ума
- Развивается логическое мышление
- Улучшается мозговая активность
- Повышается внимательность и концентрация
- Проявляется терпение и трудолюбие
- Развивается креативность
Как развить навык решения примеров по математике?
Надо понимать, что навык решения напрямую связан и количеством решаемых примеров. Чем больше примеров Вы прорешиваете, тем лучше начинает работать и справляться с ними мозг. Конечно же, это не означает, что надо убить все свое время только на решение примеров по математике. Очень важное значение тут имеет регулярность!
Каждый день практикуясь в небольшое выделенное для себя время, можно быстро развить свой навык устного счета до приличных возможностей. Необходимо также уделять внимание разнообразию примеров (их видам) – то есть постепенно решать все более сложные и интересные примеры, не останавливаясь на простых!
Также о навыках решения примеров по математике можно прочитать в статье «Как научиться считать в уме».
Как заставить себя решать примеры по математике?
Зачастую очень тяжело заставить себя заниматься делом, всё больше хочется отдохнуть, не утруждать себя надоедливым занятием, даже осознавая, что это нужно и необходимо. Немногие дети стремятся самостоятельно поучаствовать в своем развитии или хотя бы выполнить домашнее задание.
Поэтому в приложение «Тренажер устного счета» был добавлен игровой соревновательный момент. Возможно это изменит подход к скучному обучению, сделав этот процесс более интересным и завлекающим. Предлагаем самостоятельно опробовать данное приложение и оценить его.
Желаем успехов в решении!
15 самых сложных вопросов по SAT математике
Хотите проверить себя, отвечая на самые сложные вопросы по математике SAT? Хотите знать, что делает эти вопросы такими сложными и как их лучше всего решать? Если вы готовы по-настоящему погрузиться в математический раздел SAT и нацелиться на этот высший балл, то это руководство для вас.
Мы собрали то, что мы считаем , из 15 самых сложных вопросов для текущего SAT , со стратегиями и ответами на каждый из них.Это все сложные вопросы SAT Math из практических тестов SAT College Board, а это означает, что их понимание - один из лучших способов учиться для тех из вас, кто стремится к совершенству.
Изображение: Соня Севилья / Викимедиа
Краткий обзор SAT Math
Третий и четвертый разделы SAT всегда будут математическими разделами
.Математических примеров
Добро пожаловать на сайт MathExample.com
Этот образовательный ресурс предназначен для приобретения вами практических навыков математики , а также для развития математических способностей у вас и ваших детей.
«Число . - катализатор, который может помочь превратить буйных безумцев в вежливых людей»
~ Филип Дж. Дэвис
Целей сайта:
- Повышение знаний по математике
- получение практического опыта решения математических задач
- Повышение скорости и качества логико-математического мышления
- Развитие памяти, внимательности и концентрации
Используя этот ресурс вы можете:
- получить базовые знания о сложении, вычитании, умножении и делении
- выучить таблицу умножения с практическими упражнениями
- научиться работать с целыми, десятичными и дробными числами
- освоить методы решения уравнений
- практическое правописание
На сайте представлены следующие возможности:
- создание задач любой сложности
- печатные листы любого размера
- решение и исправление результатов онлайн
- встроенная проверка и отображение ответов по ссылке или QR-коду
- два режима на компьютере и на мобильном устройстве
Способность мыслить рационально нужно развивать и закреплять, с нами это легче делать!
10+
Создайте рабочие листы математических примеров для деления методом столбца .Номера примера - целых . Ответы всегда положительных и целых . Всего 1 вариант и 5 уровней сложности.
Делитель
Создает примеры с делением целых чисел методом столбца
1 вариант 5 уровней
Вариант: 1 Уровень: Легкий
9+
Создает рабочие листы со словами на английском языке , которые содержат пропущенные буквы.Это должно быть заполнено правильными буквами. Всего 3 варианта и 5 уровней сложности.
Английский словарь
Создает рабочие листы с словарного запаса английского языка , которые содержат пропущенные буквы, которые должны быть заполнены правильными буквами
3 варианта 5 уровней
| z & nbsp ro | th & nbsp y | pla & nbsp e | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| qui & nbsp | nbsp 3 |
6+
Пошаговое сложение задачи на каждый день.Развивает умение решать примеры с операцией сложение .
Дополнение № 19
Попыток: 2 Уровень: Обычный
| Старт |
| Начало |
11+
Создайте рабочие листы математических примеров с сложением и вычитанием .Номера примера - дроби . Ответы всегда положительных . Всего 3 варианта и 3 уровня сложности.
Числитель
Создает примеры с сложением и вычитанием дробей, ответы всегда положительные
3 варианта 3 уровня
Вариант: 1 Уровень: Легкий
14+
Создание рабочих листов с системами уравнений .Номера уравнения - целых . Переменные всегда положительные . Всего 3 варианта и 3 уровня сложности.
Создает систему уравнений , ответы всегда целые числа и положительные
3 варианта 3 уровня
|
|
Вариант: 2 Уровень: Легкий
Посетителей MathExample.com
| Если у вас есть какие-либо вопросы или пожелания по улучшению этого сайта, свяжитесь с нами. |
| Если на сайте возникают ошибки, также пишите нашим разработчикам. |
Поделитесь ссылкой
| Если у вас есть возможность, сообщите о нас своим друзьям и знакомым, мы будем вам очень благодарны. |
математических упражнений и математических задач
Добро пожаловать на Math-Exercises.com!
Мы рады приветствовать вас на сайте, посвященном всем школьникам, студентам, родителям, учителям и всем любителям математики. Вы можете найти здесь математических упражнений в диапазоне средних школ, старших классов математических задач и наиболее часто встречающихся математических задач университетов и колледжей .
Математические упражнения.com представляет собой сборник из математических упражнений , математических задач , математических задач и математических примеров с правильными ответами, предназначенных для вас, чтобы помочь вам при подготовке к вступительным экзаменам в среднюю школу, колледж или университет. Он поможет ученикам начальной школы подготовиться к экзаменам по математике и выпускным экзаменам, а старшеклассникам - подготовиться к выпускным экзаменам и выпускным экзаменам по математике. Студенты университетов и колледжей могут решить математических задач для своих экзаменов, учителя могут найти здесь источник упражнений для создания экзаменов по математике и тестов по математике. Math-Exercises.com здесь для вас!
Если у вас есть вопросы, комментарии, предложения по улучшению сайта или заинтересованность в сотрудничестве, свяжитесь с нами по адресу Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра .
Удачного дня и больших успехов в решении математических упражнений и математических задач !
авторов
Библиография и ссылки:
- Белоун Ф.совокупность: Сбирка улох из математики про закладные школы; SPN Praha, 1985
- Балинт Э., Бобок Й., Крижалковичова М., Лукацова Й .: Зберка улох из математики на приимаси скушки на средних школах; СПН Братислава, 1986
- Рихтарикова С., Киселова Д .: Математика; Энигма Нитра, 1999
- Гудцова М., Кубичикова Л.: Сборка улох з математики про СОШ, СОУ и наставбове студия; Прометей Прага, 2010
- Бача М. и сборник: Zbierka riešených and neriešených úloh z matematiky; Technická univerzita v Košiciach Košice, 2011
- Пеллер Ф., Старечкова А., Пинда Р .: Математика; Ekonóm Bratislava, 2009
- Heřmánek L. a kolektív: Sbírka příkladů z matematiky I vestrukturovaném studiu; VŠCHT Praha, 2005
- Blaško R .: Matematická analýza I; Ilinská univerzita ilina, 2009
- Tesař J .: Sbírka úloh z matematiky pro fyziky; Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích České Budějovice
- Элиаш Й., Хорват Й., Каян Й .: Zbierka úloh z vyššej matematiky; Альфа Братислава, 1966
- Štědrý M., Krylová N .: Sbírka příkladů z matematiky I; PřF UK Praha, 1994
- Гошкова Ш., Кубен Й., Рачкова П .: Интегральные функции йедне променне; Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava, 2006
- Славик В., Дворжакова Ш .: Integrální počet; Česká zemědělská univerzita v Praze, 2007
- Оршанский п .: Základy matematickej štatistiky; Prešovská univerzita v Prešove, 2009
.
15 практических вопросов по математике GRE с пояснениями
вопросов по математике GRE охватывает широкий круг тем, включая арифметику, алгебру, геометрию и интерпретацию данных. При таком большом количестве областей, требующих изучения, практика является ключом к овладению математическим разделом GRE.
Не волнуйтесь - Магуш здесь, чтобы помочь! Вопросы для практики по математике GRE в этом посте помогут вам определить, над какими областями вам нужно работать и насколько хорошо вы подготовлены к экзамену. Продолжайте внимательно изучать 15 простых, средних и сложных практических вопросов количественного анализа GRE с ответами и пояснениями.Если вы хотите дополнительно оценить свой уровень навыков в разделах «Количественный анализ», перейдите к нашему количественному диагностическому тесту GRE!
Вопросы по математике GRE: чего ожидать
Для каждого из пяти типов вопросов, которые вы увидите в разделе GRE Quant, мы включили простые, средние и сложные вопросы, которые вы можете попробовать. Для каждого вопроса в нашем продукте Magoosh отслеживает, как учащиеся справляются с ним, чтобы мы могли убедиться, что каждый вопрос идеально откалиброван для отражения реального GRE!
Вот как мы их классифицируем:
- Студенты Magoosh (которые уже настроены на успех и обычно потратили некоторое время на учебу!) Примерно в 70% случаев правильно отвечают на «простые» вопросы.
Они отвечают на «средние» вопросы правильно примерно в 60% случаев, а на «сложные» вопросы примерно в 50% случаев.
Используйте приведенную ниже таблицу, чтобы перейти к каждому практическому вопросу. Если вы возвращаетесь к этой публикации, переходите к ответам и важным выводам.
Чтобы учиться на ходу, загрузите PDF-версию этих практических вопросов и объяснений GRE Math!
GRE: вопросы количественного сравнения
Вопросы для количественного сравнения (также называемые вопросами количественного обоснования) не требуют от вас решения проблем.Вместо этого они просят вас сравнить две величины. На официальном GRE это могут быть уравнения, переменные, угловые измерения или другие величины. Затем вы выбираете ответ, который лучше всего описывает их взаимосвязь.
Мы снабдили вас интерактивными переключателями, чтобы вы могли выбрать ответ при выполнении этих практических вопросов по математике GRE. Таким образом, вы сможете отслеживать свои ответы и в конце проверять свою работу. Однако учтите, что их нельзя отправить!
Вопрос 1
Сложность : Легко
Выручка компании X делится между Дугом и Мойрой в соотношении 6 к 5 соответственно.
| Колонка А | Колонка B |
|---|---|
| Доля Мойры, когда выручка компании X составляет 15 700 долларов США | $ 7 900 |
Количество в столбце A больше
Количество в столбце B больше
Два количества равны
Связь не может быть определена на основе предоставленной информации
Проверьте ответ здесь!
Вопрос 2
Сложность : Средняя
| Колонка А | Колонка B |
|---|---|
| Длина дуги ABC | 6 |
Количество в столбце A больше
Количество в столбце B больше
Два количества равны
Связь не может быть определена на основе предоставленной информации
Проверьте ответ здесь!
Вопрос 3
Сложность: Сложная
- Наибольший простой множитель 144 равен x
- Наибольший простой делитель числа 96 равен y
Количество в столбце A больше
Количество в столбце B больше
Два количества равны
Связь не может быть определена на основе предоставленной информации
Проверьте ответ здесь!
GRE Multiple-Choice Questions
Для вопросов GRE с несколькими вариантами ответов решите проблему на экране и выберите ответ (один из пяти), который лучше всего отвечает на нее.
Мы снабдили вас интерактивными переключателями, чтобы вы могли выбрать ответ при выполнении этих практических вопросов по математике GRE. Таким образом, вы сможете отслеживать свои ответы и в конце проверять свою работу. Однако учтите, что их нельзя отправить!
Вопрос 4
Сложность : Легко
Цена пары кроссовок за последние шесть месяцев прошлого года составляла 80 долларов. Первого января цена выросла на 20%.После повышения цен сотрудник купил эти кроссовки со скидкой 10%. Какую цену заплатил сотрудник?
70,40 долл.
82 долл. США
долл. США 83,33 долл. США
долл. США 86,40 долл. США
88 долл. США
Проверьте ответ здесь!
Вопрос 5
Сложность : Средняя
Если 6 k 2 + k = 2 и k > 0, то какому из следующего должно равняться k ?
1
2
3
Проверьте ответ здесь!
Вопрос 6
Сложность: Сложная
Сколько разных способов можно распределить между 6 детьми 3 одинаковых зеленых рубашки и 3 одинаковых красных рубашки так, чтобы каждый ребенок получил рубашку?
20
40
216
720
729
Проверьте ответ здесь!
GRE Цифровые вводные вопросы
В вопросах GRE Numeric Entry вы решаете данную проблему, вводя свой ответ в поле на экране.
Мы предусмотрели текстовые поля, в которых вы можете вводить свой ответ, когда будете отвечать на эти практические вопросы по математике GRE. Таким образом, вы сможете отслеживать свои ответы и в конце проверять свою работу. Однако учтите, что их нельзя отправить!
Вопрос 7
Сложность : Легко
Дхарик живет в доме на прямой улице. В течение многих лет на его улице справа от дома было 16 домов, а на его улице слева от дома - 17 домов.В прошлом году на той же улице, даже левее тех домов, что слева от дома Дхарика, было построено 5 новых домов. Если это единственные дома на этой улице, сколько домов на этой улице?
Проверьте ответ здесь!
Вопрос 8
Сложность : Средняя
Если
, каково значение n ?
Проверьте ответ здесь!
Вопрос 9
Сложность: Сложная
На диаграмме точка D - это центр круга среднего размера, который проходит через C и E , а также центр самого большого круга, который проходит через A и G .Каждый из диаметров маленьких кругов с центрами B, и F равен радиусу среднего круга с центром D . Какая часть самого большого круга заштрихована?
Проверьте ответ здесь!
GRE Вопросы с несколькими ответами
Если вы столкнулись с вопросом о количественном анализе GRE, который выглядит как множественный, но , а не указывает, что существует только один правильный ответ, вы нашли вопрос с несколькими ответами! Выберите все правильных вариантов ответа для этого типа вопроса.
Мы установили флажки, чтобы вы могли отмечать свой ответ (-а) при выполнении этих практических вопросов по математике GRE. Таким образом, вы сможете отслеживать свои ответы и в конце проверять свою работу. Однако учтите, что их нельзя отправить!
Вопрос 10
Сложность : Легко
В популяции цыплят средний (среднее арифметическое) вес составляет 6,3 фунта, а стандартное отклонение - 1,2 фунта.Какой из следующих весов (в фунтах) находится в пределах 1,5 единиц стандартного отклонения от среднего?
Укажите всех весов.
4,4
4,6
5,1
5,2
6,9
7,6
7,7
8,2
Проверьте ответ здесь!
Вопрос 11
Сложность : Средняя
Если x > 0, какое из следующих выражений равно 3,6% от
? Укажите всех таких выражений.
3 процента от 20 x
x 900 28 процентов от
3 процента от 0,2
0,05 процента от 3 x
Проверьте ответ здесь!
Вопрос 12
Сложность: Сложная
Популярный веб-сайт требует, чтобы пользователи создавали пароль, состоящий только из цифр. Если никакая цифра не может повторяться и каждый пароль должен состоять не менее чем из 9 цифр, сколько паролей возможно?
9! + 10!
2 × 10!
9! × 10!
19!
20!
Проверьте ответ здесь!
Вопросы по интерпретации данных GRE
ВопросыGRE Data Interpretation аналогичны вопросам с несколькими вариантами ответов, но с одной изюминкой: они просят вас взглянуть на графики (в первую очередь диаграммы, графики и таблицы) и решить вопросы на их основе.
Мы снабдили вас интерактивными переключателями, чтобы вы могли выбрать ответ при выполнении этих практических вопросов по математике GRE. Таким образом, вы сможете отслеживать свои ответы и в конце проверять свою работу. Однако учтите, что их нельзя отправить!
Вопрос 13
Сложность : Легко
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЖИВОТНЫХ В ЗООПАРКЕ| Животное | Процент |
|---|---|
| Львы | 32% |
| Леопарды | 16% |
| Оцелоты | 20% |
| Тигры | 8% |
| Бобкэтс | 24% |
Если в зоопарке 44 леопарда, какова общая популяция животных в зоопарке?
225
275
325
350
375
Проверьте ответ здесь!
Вопрос 14
Сложность : Средняя
На приведенной выше диаграмме каждый из пятнадцати частных колледжей представлен точкой и X на вертикальной линии.X обозначает годовой доход колледжа от платы за обучение и в 2008 году. Точка сверху или снизу на той же пунктирной вертикальной линии указывает годовой доход колледжа в 2008 году от инвестиций и пожертвований. Основание вертикальной пунктирной линии указывает количество студентов в этом колледже в 2008 году.
Для скольких колледжей инвестиционный доход в 2008 году более чем в два раза превышает доход от обучения в колледже в 2008 году?
нет
один
два
три
четыре
Проверьте ответ здесь!
Вопрос 15
Сложность: Сложная
На следующей диаграмме показано население Дженкинсвилля и количество телевизоров в городе в середине 20-го века.
Отношение количества людей к телевизору в Дженкинсвилле уменьшилось примерно на какой процент с 1955 по 1960 год?
Дайте ответ с точностью до ближайшего целого числа процентов и не вводите знак процента.
Проверьте ответ здесь!
GRE Math Practice: ответы на вопросы
GRE Объяснения для количественного сравнения
Вопрос 1
Сложность : Легко
Ответ: Количество в столбце B больше
Посмотрите видеообъяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 1.
Вопрос 2
Сложность : Средняя
Ответ: Количество в столбце A больше
Посмотрите видеообъяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 2.
Вопрос 3
Сложность: Жесткий
Ответ: Две величины равны
Посмотрите видео-объяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 3.
GRE Пояснения с множественным выбором
Вопрос 4
Сложность : Легко
Ответ: 86 $.40
Посмотрите видео-объяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 4.
Вопрос 5
Сложность : Средняя
Ответ: 1/2
Посмотрите видеообъяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 5.
Вопрос 6
Сложность: Сложная
Ответ: 20
Посмотрите видео-объяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 6.
GRE Описание числового ввода
Вопрос 7
Сложность : Легко
Ответ: 39
Посмотрите видеообъяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 7.
Вопрос 8
Сложность : Средняя
Ответ: 1
Посмотрите видеообъяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 8.
Вопрос 9
Сложность: Сложная
Ответ: 5/8
Посмотрите видео-объяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 9.
GRE Объяснение с несколькими ответами
Вопрос 10
Сложность : Легко
Ответов: 4.6, 5.1, 5.2, 6.9, 7.6, 7.7
Посмотрите видеообъяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 10.
Вопрос 11
Сложность : Средняя
Ответы: x процентов от 3/2; 3 х /200
Посмотрите видео-объяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 11.
Вопрос 12
Сложность: Hard
Ответ: 2 × 10!
Посмотрите видео-объяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 12.
GRE Пояснения к интерпретации данных
Вопрос 13
Сложность : Легко
Ответ: 275
Посмотрите видео-объяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 13.
Вопрос 14
Сложность : Средняя
Ответ: одна
Посмотрите видеообъяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 14.
Вопрос 15
Сложность: Сложная
Ответ: 33
Посмотрите видео-объяснение здесь! Или вернитесь к вопросу 15.
Практические вопросы по математике GRE: важный вывод
Как прошел практический тест по математике mini-GRE? Если вы пропустили некоторые (или даже все) примерные вопросы по математике GRE, не отчаивайтесь! Вы по-прежнему можете получить желаемый балл GRE и поступить в выбранную вами аспирантуру. С одной большой оговоркой…
При решении математических задач GRE важно выяснить, почему вы неправильно ответили на вопросы. У вас проблемы с содержимым интерпретации данных? Или для вас проблема с цифровым вводом? Для многих студентов количественное сравнение оказывается сложной задачей.
Поначалу этот процесс может расстраивать. Но помните: заставляя себя искать ответ вместо того, чтобы сразу обращаться к объяснению во время математической практики GRE, вы поймете проблему на более глубоком уровне и с меньшей вероятностью пропустите аналогичную задачу в будущем. Вам помогут практические вопросы по математике GRE. Это лучший (и действительно единственный) способ улучшить свой результат на GRE. При достаточной количественной практике GRE вы получите желаемый результат!
Особое спасибо нашему участнику, Рэйчел Капелке-Дейл, за помощь с этим постом!
Примечание редактора. Этот пост был первоначально опубликован в 2012 году и был обновлен для обеспечения свежести, точности и полноты.
П.С. Готовы улучшить свой GRE? Начни сегодня.
Самые популярные ресурсы
.Бесплатный практический тест GMAT с ответами и пояснениями
53. Выберите вариант, который лучше всего отвечает на вопрос.
Конституция США установила как золото, так и серебро в качестве основы американской валюты: то есть она установила биметаллический стандарт для валюты. Это оставалось в силе около века, до Закона 1873 года о чеканке монет, который включал стандарт «только золото», монометаллический стандарт, фактически отказавшись от серебра как основы валюты. В течение следующих нескольких десятилетий сторонники биметаллизма и сторонники стандарта «только золото» ожесточенно спорили.
Сторонники «только золота», такие как Уильям МакКинли, утверждали, что сдвиги в относительной стоимости двух драгоценных металлов могут привести к резким колебаниям стоимости валюты в биметаллической системе. В начале истории Соединенных Штатов Александр Гамильтон пытался зафиксировать обменный курс золота и серебра с помощью бумажных денег, но, конечно, такие ограничения только тормозили естественное развитие свободного рынка.
Безработица была высокой во время депрессии, вызванной паникой 1893 года, и многие утверждали, что эти экономические проблемы были вызваны отказом от биметаллизма.Одним из наиболее ярких защитников биметаллизма был Уильям Дженнингс Брайант: действительно, биметаллизм был в самом центре его президентских кампаний в 1896 и 1900 годах, которые он проиграл Мак-Кинли. Брайант сформулировал популярное мнение о том, что стандарт «только золото» ограничивает денежную массу и, таким образом, поддерживает тех, кто уже был достаточно богат, вопреки интересам трудящихся всех профессий. Он хорошо выразил этот аргумент в своей речи «Золотой крест» на Демократическом национальном съезде 1896 года, в которой он утверждал, что продолжение стандарта «только золото» «распнет» честные рабочие классы на «золотом кресте».«
Несмотря на красноречие аргументов Брайанта, история решительно отдает предпочтение стандарту« только золото ». Аргумент о том, что увеличение денежной массы приведет к большему процветанию, сейчас кажется нам наивным: конечно, теперь мы понимаем, что увеличение денежной массы может привести к безудержной инфляции, от которой страдают все. Кроме того, золото не оставалось таким ограниченным, как представляли сторонники биметаллизма. В 1890-х годах ученые открыли процесс цианида, который позволил рабочим извлекать чистое золото из руды гораздо более низкого качества, что значительно увеличило отечественная добыча золота.Кроме того, открытие двух огромных месторождений золота в Южной Африке существенно увеличило мировое предложение золота. Таким образом, стандарт «только золото» позволил получить достаточное количество валюты и даже устойчивое процветание в 1920-х годах, так что биметаллизм умер тихой смертью.
Вопрос: По отрывку биметаллизм не выдержал, потому что
